Theorem nvgcl 8235

Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = (Base` U)
nvgcl.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvgcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Proof of Theorem nvgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nvgcl.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8219	. . 3 |- X = ran G
4	3	grpcl 8041	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
5	2	nvgrp 8232	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)
6	4, 5	syl3an1 861	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201

This theorem is referenced by:  nvmf 8262  nvsubadd 8271  nvpncan2 8272  nvaddsub4 8277  nvdif 8289  nvpi 8290  nvabs 8297  imsmetlem 8319  nvelbl2 8322  nmcnilem 8333  va1cnlem 8341  ipval2lem2 8350  4ipval2 8354  ip1cnilem2 8370  ip1cnilem3 8371  ip1cnilem5 8373  ip1cnilem6 8374  sspival 8393  lnocoi 8414  0lno 8446  ip0i 8480  ip1ilem 8481  ip2i 8483  ipdirilem 8484  ipasslem10 8495  ipdi 8499  ip2dii 8500  pythi 8506  sspph 8511  ipblnfi 8512  ubthlem7 8531  minveclem16 8556  minveclem18 8558  minveclem19 8559  minveclem21 8561  minveclem35 8575  minveclem36 8576  minveclem37 8577  minveclem38 8578  hhshsslem2 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain