Theorem nvge0 8266

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64.

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	|- X = (Base` U)
nvge0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodge0t 5794	. 2 |- (((2 e. RR /\ (N` A) e. RR) /\ (0 < 2 /\ 0 <_ (2 x. (N` A)))) -> 0 <_ (N` A))
2		nvge0.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
3		nvge0.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	2, 3	nvcl 8251	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
5		2re 5936	. . 3 |- 2 e. RR
6	4, 5	jctil 292	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (2 e. RR /\ (N` A) e. RR))
7		eqid 1474	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
8	7, 3	nvz0 8260	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0v` U)) = 0)
9	8	adantr 389	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = 0)
10		eqid 1474	. . . . . . . . . 10 |- (.s` U) = (.s` U)
11	2, 10, 7	nv0 8222	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0(.s` U)A) = (0v` U))
12		ax1cn 5252	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
13	12	negid 5363	. . . . . . . . . 10 |- (1 + -u1) = 0
14	13	opreq1i 3966	. . . . . . . . 9 |- ((1 + -u1)(.s` U)A) = (0(.s` U)A)
15	11, 14	syl5req 1518	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0v` U) = ((1 + -u1)(.s` U)A))
16	12	negcl 5352	. . . . . . . . 9 |- -u1 e. CC
17		eqid 1474	. . . . . . . . . . 11 |- (+v` U) = (+v` U)
18	2, 17, 10	nvdir 8216	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ -u1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
19	12, 18	mp3anr1 912	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
20	16, 19	mpanr1 708	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
21	2, 10	nvsid 8212	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1(.s` U)A) = A)
22	21	opreq1d 3970	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
23	15, 20, 22	3eqtrd 1509	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0v` U) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
24	23	fveq2d 3723	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))))
25	9, 24	eqtr3d 1507	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))))
26	2, 10	nvscl 8211	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
27	16, 26	mp3an2 903	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
28	2, 17, 3	nvtri 8262	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
29	27, 28	mpd3an3 916	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
30	25, 29	eqbrtrd 2631	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
31	2, 10, 3	nvm1 8256	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (-u1(.s` U)A)) = (N` A))
32	31	opreq2d 3971	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))) = ((N` A) + (N` A)))
33	4	recnd 5298	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. CC)
34		2timest 5961	. . . . . 6 |- ((N` A) e. CC -> (2 x. (N` A)) = ((N` A) + (N` A)))
35	33, 34	syl 10	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (2 x. (N` A)) = ((N` A) + (N` A)))
36	32, 35	eqtr4d 1508	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))) = (2 x. (N` A)))
37	30, 36	breqtrd 2635	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (2 x. (N` A)))
38		2pos 5946	. . 3 |- 0 < 2
39	37, 38	jctil 292	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0 < 2 /\ 0 <_ (2 x. (N` A))))
40	1, 6, 39	sylanc 471	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222  -ucneg 5276   <_ cle 5278   < clt 5469  2c2 5918  NrmCVeccnv 8167  +vcpv 8168  Basecba 8169  .scns 8170  0vcn0v 8171  normcnm 8173

This theorem is referenced by:  nvgt0 8267  sm1cnilem 8309  ipnm 8326  nmoge0 8390  nmoub3i 8396  siilem1 8470  siii 8472  ubthlem12 8499  minveclem9 8512  minveclem10 8513  minveclem14 8517  minveclem28 8531  minveclem38 8541  minveceu 8542  htthlem6 8583  htthlem8 8585  htthlem10 8587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-2 5927  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183

Copyright terms: Public domain