MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinv Unicode version

Theorem nvinv 21143
Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinv.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvinv.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvinv.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
nvinv.5  |-  M  =  ( inv `  G
)
Assertion
Ref Expression
nvinv  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  =  ( M `  A ) )

Proof of Theorem nvinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . 3  |-  ( 1st `  U )  =  ( 1st `  U )
21nvvc 21117 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD )
3 nvinv.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
43vafval 21105 . . 3  |-  G  =  ( 1st `  ( 1st `  U ) )
5 nvinv.4 . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
65smfval 21107 . . 3  |-  S  =  ( 2nd `  ( 1st `  U ) )
7 nvinv.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
87, 3bafval 21106 . . 3  |-  X  =  ran  G
9 nvinv.5 . . 3  |-  M  =  ( inv `  G
)
104, 6, 8, 9vcm 21073 . 2  |-  ( ( ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  =  ( M `  A ) )
112, 10sylan 459 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  =  ( M `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   1stc1st 6040   1c1 8692   -ucneg 8992   invcgn 20801   CVec
OLDcvc 21047   NrmCVeccnv 21086   +vcpv 21087   BaseSetcba 21088   .s
OLDcns 21089
This theorem is referenced by:  nvinvfval  21144  nvmval  21146  nvmfval  21148  nvnegneg  21155  nvrinv  21157  nvlinv  21158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826  df-sub 8993  df-neg 8994  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-ablo 20895  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-nmcv 21102
  Copyright terms: Public domain W3C validator