Theorem nvlmle 8333

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value.

Hypotheses

Ref	Expression
nvlmle.1	|- X = (Base` U)
nvlmle.6	|- N = (norm` U)
nvlmle.8	|- D = (IndMet` U)
nvlmle.p	|- P e. V

Assertion

Ref	Expression
nvlmle	|- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (N` P) <_ R)

Distinct variable groups:   D,k   k,F   P,k   R,k   U,k   k,X

Proof of Theorem nvlmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvlmle.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
2		nvlmle.8	. . . . . 6 |- D = (IndMet` U)
3		nvlmle.p	. . . . . 6 |- P e. V
4	1, 2, 3	nvlmcl 8332	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ F(~~>m` D)P) -> P e. X)
5		eqid 1475	. . . . . 6 |- (0v` U) = (0v` U)
6		nvlmle.6	. . . . . 6 |- N = (norm` U)
7	1, 5, 6, 2	nvnd 8319	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ P e. X) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
8	4, 7	syldan 467	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ F(~~>m` D)P) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
9	8	3adant2 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
10	9	adantr 389	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
11		eqid 1475	. . . . 5 |- dom dom D = dom dom D
12		1z 6159	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
13		nnuz 6439	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
14	11, 12, 13	lmle 7960	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. V /\ F(~~>m` D)P) /\ ((0v` U) e. dom dom D /\ R e. RR /\ A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)) -> (PD(0v` U)) <_ R)
15	3, 14	mp3anl2 911	. . 3 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)P) /\ ((0v` U) e. dom dom D /\ R e. RR /\ A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)) -> (PD(0v` U)) <_ R)
16	2	imsmet 8324	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> D e. Met)
17	16	anim1i 334	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ F(~~>m` D)P) -> (D e. Met /\ F(~~>m` D)P))
18	17	3adant2 798	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) -> (D e. Met /\ F(~~>m` D)P))
19	18	adantr 389	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (D e. Met /\ F(~~>m` D)P))
20	1, 5	nvzcl 8255	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
21	1, 2	imsba 8321	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> X = dom dom D)
22	20, 21	eleqtrd 1550	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. dom dom D)
23	22	3ad2ant1 800	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) -> (0v` U) e. dom dom D)
24	23	adantr 389	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (0v` U) e. dom dom D)
25		simprl 414	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> R e. RR)
26	1, 5, 6, 2	nvnd 8319	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ (F` k) e. X) -> (N` (F` k)) = ((F` k)D(0v` U)))
27		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. X)
28	26, 27	sylan2 451	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (F:NN-->X /\ k e. NN)) -> (N` (F` k)) = ((F` k)D(0v` U)))
29	28	anassrs 441	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> (N` (F` k)) = ((F` k)D(0v` U)))
30	29	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> ((N` (F` k)) <_ R <-> ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
31	30	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> ((N` (F` k)) <_ R -> ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
32	31	r19.20dva 1709	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
33	32	imp 350	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R) -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)
34	33	adantrl 394	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)
35	34	3adantl3 805	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)
36	24, 25, 35	3jca 819	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> ((0v` U) e. dom dom D /\ R e. RR /\ A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
37	15, 19, 36	sylanc 471	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (PD(0v` U)) <_ R)
38	10, 37	eqbrtrd 2635	1 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (N` P) <_ R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   <_ cle 5295  NNcn 5296  Metcme 7789  ~~>mclm 7919  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207  normcnm 8209  IndMetcims 8210

This theorem is referenced by:  ubthlem3 8531

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-met 7793  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220

Copyright terms: Public domain