Theorem nvmtri 8295

Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference.

Hypotheses

Ref	Expression
nvmtri.1	|- X = (Base` U)
nvmtri.3	|- M = (-v` U)
nvmtri.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvmtri	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) <_ ((N` A) + (N` B)))

Proof of Theorem nvmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmtri.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		eqid 1478	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
3		nvmtri.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	1, 2, 3	nvtri 8294	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
5		ax1cn 5281	. . . . . 6 |- 1 e. CC
6	5	negcl 5381	. . . . 5 |- -u1 e. CC
7		eqid 1478	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
8	1, 7	nvscl 8243	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
9	6, 8	mp3an2 906	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
10	9	3adant2 800	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
11	4, 10	syld3an3 872	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
12		nvmtri.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
13	1, 2, 7, 12	nvmval 8259	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
14	13	fveq2d 3734	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
15	1, 7, 3	nvs 8286	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (N` (-u1(.s` U)B)) = ((abs` -u1) x. (N` B)))
16	6, 15	mp3an2 906	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` (-u1(.s` U)B)) = ((abs` -u1) x. (N` B)))
17	1, 3	nvcl 8283	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) e. RR)
18	17	recnd 5327	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) e. CC)
19		mulid2t 5429	. . . . . . 7 |- ((N` B) e. CC -> (1 x. (N` B)) = (N` B))
20	18, 19	syl 10	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (1 x. (N` B)) = (N` B))
21	5	absneg 6844	. . . . . . . 8 |- (abs` -u1) = (abs` 1)
22		0re 5452	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
23		1re 5447	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
24		lt01 5692	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
25	22, 23, 24	ltlei 5593	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
26	23	absid 6861	. . . . . . . . 9 |- (0 <_ 1 -> (abs` 1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (abs` 1) = 1
28	21, 27	eqtr 1498	. . . . . . 7 |- (abs` -u1) = 1
29	28	opreq1i 3977	. . . . . 6 |- ((abs` -u1) x. (N` B)) = (1 x. (N` B))
30	20, 29	syl5eq 1522	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((abs` -u1) x. (N` B)) = (N` B))
31	16, 30	eqtr2d 1511	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) = (N` (-u1(.s` U)B)))
32	31	3adant2 800	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` B) = (N` (-u1(.s` U)B)))
33	32	opreq2d 3982	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` A) + (N` B)) = ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
34	11, 14, 33	3brtr4d 2650	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) <_ ((N` A) + (N` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  -ucneg 5305   <_ cle 5307  abscabs 6751  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  -vcnsb 8204  normcnm 8205

This theorem is referenced by:  ubthlem11 8535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain