Theorem nvmval 8263

Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	|- X = (Base` U)
nvmval.2	|- G = (+v` U)
nvmval.4	|- S = (.s` U)
nvmval.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvmval	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (AG(-u1SB)))

Proof of Theorem nvmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		nvmval.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8223	. . . 4 |- X = ran G
4		eqid 1475	. . . 4 |- (inv` G) = (inv` G)
5		eqid 1475	. . . 4 |- ( /g ` G) = ( /g ` G)
6	3, 4, 5	grpdivval 8082	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (A( /g ` G)B) = (AG((inv` G)` B)))
7	2	nvgrp 8236	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)
8	6, 7	syl3an1 859	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A( /g ` G)B) = (AG((inv` G)` B)))
9		nvmval.3	. . 3 |- M = (-v` U)
10	1, 2, 9, 5	nvm 8262	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A( /g ` G)B))
11		nvmval.4	. . . . 5 |- S = (.s` U)
12	1, 2, 11, 4	nvinv 8260	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1SB) = ((inv` G)` B))
13	12	3adant2 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1SB) = ((inv` G)` B))
14	13	opreq2d 3976	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AG(-u1SB)) = (AG((inv` G)` B)))
15	8, 10, 14	3eqtr4d 1517	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (AG(-u1SB)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1c1 5235  -ucneg 5293  Grpcgr 8033  invcgn 8035   /g cgs 8036  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  -vcnsb 8208

This theorem is referenced by:  nvzs 8265  nvmdi 8270  nvsubadd 8275  nvpncan2 8276  nvaddsub4 8281  nvnncan 8283  nvsub 8295  nvmtri 8299  imsdval2 8318  nvnd 8319  ipval3 8359  sspmval 8392  lnosub 8420  isph 8481  ipsubdir 8508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain