Theorem nvnd 8315

Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63.

Hypotheses

Ref	Expression
nvnd.1	|- X = (Base` U)
nvnd.5	|- Z = (0v` U)
nvnd.6	|- N = (norm` U)
nvnd.8	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
nvnd	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) = (ADZ))

Proof of Theorem nvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvnd.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		nvnd.5	. . . . 5 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 8251	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> Z e. X)
4	3	adantr 391	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> Z e. X)
5		eqid 1478	. . . 4 |- (-v` U) = (-v` U)
6		nvnd.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
7		nvnd.8	. . . 4 |- D = (IndMet` U)
8	1, 5, 6, 7	imsdval 8313	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (ADZ) = (N` (A(-v` U)Z)))
9	4, 8	mpd3an3 919	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (ADZ) = (N` (A(-v` U)Z)))
10		eqid 1478	. . . . . 6 |- (+v` U) = (+v` U)
11		eqid 1478	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
12	1, 10, 11, 5	nvmval 8259	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (A(-v` U)Z) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))
13	4, 12	mpd3an3 919	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(-v` U)Z) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))
14		ax1cn 5281	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
15	14	negcl 5381	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
16	11, 2	nvsz 8255	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC) -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
17	15, 16	mpan2 698	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
18	17	opreq2d 3982	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)) = (A(+v` U)Z))
19	18	adantr 391	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)) = (A(+v` U)Z))
20	1, 10, 2	nv0rid 8252	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)Z) = A)
21	13, 19, 20	3eqtrd 1514	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(-v` U)Z) = A)
22	21	fveq2d 3734	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(-v` U)Z)) = (N` A))
23	9, 22	eqtr2d 1511	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) = (ADZ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  0vcn0v 8203  -vcnsb 8204  normcnm 8205  IndMetcims 8206

This theorem is referenced by:  nvlmle 8329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216

Copyright terms: Public domain