Theorem nvnncan 8279

Description: Cancellation law for a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvsubsub23.1	|- X = (Base` U)
nvsubsub23.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvnncan	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(AMB)) = B)

Proof of Theorem nvnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvsubsub23.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		eqid 1478	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1478	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
4		nvsubsub23.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
5	1, 2, 3, 4	nvmval 8259	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (AMB) e. X) -> (AM(AMB)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))))
6	1, 4	nvmcl 8263	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) e. X)
7	5, 6	syld3an3 872	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(AMB)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))))
8	1, 2, 3	nvdi 8247	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X)) -> (-u1(.s` U)(A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B))))
9		3simp1 790	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> U e. NrmCVec)
10		ax1cn 5281	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
11	10	negcl 5381	. . . . . . . 8 |- -u1 e. CC
12	11	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> -u1 e. CC)
13		3simp2 791	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
14	1, 3	nvscl 8243	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
15	11, 14	mp3an2 906	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
16	15	3adant2 800	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
17	12, 13, 16	3jca 821	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1 e. CC /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X))
18	8, 9, 17	sylanc 473	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)(A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B))))
19	1, 2, 3, 4	nvmval 8259	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
20	19	opreq2d 3982	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)(AMB)) = (-u1(.s` U)(A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
21	1, 3	nvsid 8244	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (1(.s` U)B) = B)
22	10, 10	mul2neg 5459	. . . . . . . . . . 11 |- (-u1 x. -u1) = (1 x. 1)
23	10	mulid1 5344	. . . . . . . . . . 11 |- (1 x. 1) = 1
24	22, 23	eqtr 1498	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. -u1) = 1
25	24	opreq1i 3977	. . . . . . . . 9 |- ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (1(.s` U)B)
26	21, 25	syl5eq 1522	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = B)
27	1, 3	nvsass 8245	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ -u1 e. CC /\ B e. X)) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
28	11, 27	mp3anr1 915	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ B e. X)) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
29	11, 28	mpanr1 711	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
30	26, 29	eqtr3d 1512	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> B = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
31	30	3adant2 800	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> B = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
32	31	opreq2d 3982	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((-u1(.s` U)A)(+v` U)B) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B))))
33	18, 20, 32	3eqtr4d 1520	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)(AMB)) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)B))
34	33	opreq2d 3982	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))) = (A(+v` U)((-u1(.s` U)A)(+v` U)B)))
35	1, 2	nvass 8237	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X /\ B e. X)) -> ((A(+v` U)(-u1(.s` U)A))(+v` U)B) = (A(+v` U)((-u1(.s` U)A)(+v` U)B)))
36	1, 3	nvscl 8243	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
37	11, 36	mp3an2 906	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
38	37	3adant3 801	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
39		3simp3 792	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
40	13, 38, 39	3jca 821	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X /\ B e. X))
41	35, 9, 40	sylanc 473	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(+v` U)(-u1(.s` U)A))(+v` U)B) = (A(+v` U)((-u1(.s` U)A)(+v` U)B)))
42		eqid 1478	. . . . . 6 |- (0v` U) = (0v` U)
43	1, 2, 3, 42	nvrinv 8269	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (0v` U))
44	43	3adant3 801	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (0v` U))
45	44	opreq1d 3981	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(+v` U)(-u1(.s` U)A))(+v` U)B) = ((0v` U)(+v` U)B))
46	34, 41, 45	3eqtr2d 1516	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))) = ((0v` U)(+v` U)B))
47	1, 2, 42	nv0lid 8253	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((0v` U)(+v` U)B) = B)
48	47	3adant2 800	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((0v` U)(+v` U)B) = B)
49	7, 46, 48	3eqtrd 1514	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(AMB)) = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   x. cmul 5251  -ucneg 5305  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  0vcn0v 8203  -vcnsb 8204

This theorem is referenced by:  blocnilem 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain