Theorem nvo00 8356

Description: Two ways to express a zero operator.

Hypothesis

Ref	Expression
nvo00.1	|- X = (Base` U)

Assertion

Ref	Expression
nvo00	|- ((U e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))

Proof of Theorem nvo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst5 3833	. . 3 |- ((T Fn X /\ X =/= (/)) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))
2		ffn 3613	. . 3 |- (T:X-->Y -> T Fn X)
3		nvo00.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
4		eqid 1468	. . . . 5 |- (0v` U) = (0v` U)
5	3, 4	nvzcl 8195	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
6		ne0i 2276	. . . 4 |- ((0v` U) e. X -> X =/= (/))
7	5, 6	syl 10	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> X =/= (/))
8	1, 2, 7	syl2an 454	. 2 |- ((T:X-->Y /\ U e. NrmCVec) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))
9	8	ancoms 436	1 |- ((U e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (/)c0 2270  {csn 2399   X. cxp 3158  ran crn 3161   Fn wfn 3167  -->wf 3168  ` cfv 3172  NrmCVeccnv 8141  Basecba 8143  0vcn0v 8145

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-grp 7971  df-gid 7972  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157

Copyright terms: Public domain