Theorem nvpi 8294

Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another.

Hypotheses

Ref	Expression
nvdif.1	|- X = (Base` U)
nvdif.2	|- G = (+v` U)
nvdif.4	|- S = (.s` U)
nvdif.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvpi	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(iSB))) = (N` (BG(-uiSA))))

Proof of Theorem nvpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvdif.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
2		nvdif.6	. . . . . 6 |- N = (norm` U)
3	1, 2	nvcl 8287	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (AG(iSB)) e. X) -> (N` (AG(iSB))) e. RR)
4		3simp1 788	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> U e. NrmCVec)
5		nvdif.2	. . . . . . 7 |- G = (+v` U)
6	1, 5	nvgcl 8239	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (iSB) e. X) -> (AG(iSB)) e. X)
7		axicn 5270	. . . . . . . 8 |- i e. CC
8		nvdif.4	. . . . . . . . 9 |- S = (.s` U)
9	1, 8	nvscl 8247	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ i e. CC /\ B e. X) -> (iSB) e. X)
10	7, 9	mp3an2 904	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (iSB) e. X)
11	10	3adant2 798	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (iSB) e. X)
12	6, 11	syld3an3 870	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AG(iSB)) e. X)
13	3, 4, 12	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(iSB))) e. RR)
14	13	recnd 5315	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(iSB))) e. CC)
15		mulid2t 5417	. . 3 |- ((N` (AG(iSB))) e. CC -> (1 x. (N` (AG(iSB)))) = (N` (AG(iSB))))
16	14, 15	syl 10	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (1 x. (N` (AG(iSB)))) = (N` (AG(iSB))))
17	7	negcl 5369	. . . . . 6 |- -ui e. CC
18	1, 8, 2	nvs 8290	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ -ui e. CC /\ (AG(iSB)) e. X) -> (N` (-uiS(AG(iSB)))) = ((abs` -ui) x. (N` (AG(iSB)))))
19	17, 18	mp3an2 904	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (AG(iSB)) e. X) -> (N` (-uiS(AG(iSB)))) = ((abs` -ui) x. (N` (AG(iSB)))))
20	19, 4, 12	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (-uiS(AG(iSB)))) = ((abs` -ui) x. (N` (AG(iSB)))))
21	1, 5, 8	nvdi 8251	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (-ui e. CC /\ A e. X /\ (iSB) e. X)) -> (-uiS(AG(iSB))) = ((-uiSA)G(-uiS(iSB))))
22	17, 21	mp3anr1 913	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ (iSB) e. X)) -> (-uiS(AG(iSB))) = ((-uiSA)G(-uiS(iSB))))
23		3simp2 789	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
24	23, 11	jca 288	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A e. X /\ (iSB) e. X))
25	22, 4, 24	sylanc 471	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-uiS(AG(iSB))) = ((-uiSA)G(-uiS(iSB))))
26	1, 8	nvsass 8249	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (-ui e. CC /\ i e. CC /\ B e. X)) -> ((-ui x. i)SB) = (-uiS(iSB)))
27	17, 26	mp3anr1 913	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (i e. CC /\ B e. X)) -> ((-ui x. i)SB) = (-uiS(iSB)))
28	7, 27	mpanr1 709	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-ui x. i)SB) = (-uiS(iSB)))
29	1, 8	nvsid 8248	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (1SB) = B)
30	7, 7	mulneg1 5445	. . . . . . . . . . . 12 |- (-ui x. i) = -u(i x. i)
31		ixi 5681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (i x. i) = -u1
32	31	negeqi 5360	. . . . . . . . . . . 12 |- -u(i x. i) = -u-u1
33		ax1cn 5269	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
34	33	negneg 5390	. . . . . . . . . . . 12 |- -u-u1 = 1
35	30, 32, 34	3eqtr 1499	. . . . . . . . . . 11 |- (-ui x. i) = 1
36	35	opreq1i 3971	. . . . . . . . . 10 |- ((-ui x. i)SB) = (1SB)
37	29, 36	syl5eq 1519	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-ui x. i)SB) = B)
38	28, 37	eqtr3d 1509	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-uiS(iSB)) = B)
39	38	3adant2 798	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-uiS(iSB)) = B)
40	39	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((-uiSA)G(-uiS(iSB))) = ((-uiSA)GB))
41	1, 5	nvcom 8240	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (-uiSA) e. X /\ B e. X) -> ((-uiSA)GB) = (BG(-uiSA)))
42	1, 8	nvscl 8247	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ -ui e. CC /\ A e. X) -> (-uiSA) e. X)
43	17, 42	mp3an2 904	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-uiSA) e. X)
44	43	3adant3 799	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-uiSA) e. X)
45	41, 44	syld3an2 872	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((-uiSA)GB) = (BG(-uiSA)))
46	25, 40, 45	3eqtrd 1511	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-uiS(AG(iSB))) = (BG(-uiSA)))
47	46	fveq2d 3728	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (-uiS(AG(iSB)))) = (N` (BG(-uiSA))))
48	20, 47	eqtr3d 1509	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((abs` -ui) x. (N` (AG(iSB)))) = (N` (BG(-uiSA))))
49	7	absneg 6844	. . . . 5 |- (abs` -ui) = (abs` i)
50		absi 6878	. . . . 5 |- (abs` i) = 1
51	49, 50	eqtr 1495	. . . 4 |- (abs` -ui) = 1
52	51	opreq1i 3971	. . 3 |- ((abs` -ui) x. (N` (AG(iSB)))) = (1 x. (N` (AG(iSB))))
53	48, 52	syl5eqr 1521	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (1 x. (N` (AG(iSB)))) = (N` (BG(-uiSA))))
54	16, 53	eqtr3d 1509	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AG(iSB))) = (N` (BG(-uiSA))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  1c1 5235  ici 5236   x. cmul 5239  -ucneg 5293  abscabs 6750  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  ipcj 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain