Theorem nvscom 8202

Description: Commutative law for the scalar product of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	|- X = (Base` U)
nvscl.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
nvscom	|- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> (AS(BSC)) = (BS(ASC)))

Proof of Theorem nvscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulcom 5256	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))
2	1	opreq1d 3966	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B)SC) = ((B x. A)SC))
3	2	3adant3 798	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X) -> ((A x. B)SC) = ((B x. A)SC))
4	3	adantl 388	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A x. B)SC) = ((B x. A)SC))
5		nvscl.1	. . 3 |- X = (Base` U)
6		nvscl.4	. . 3 |- S = (.s` U)
7	5, 6	nvsass 8201	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A x. B)SC) = (AS(BSC)))
8	5, 6	nvsass 8201	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (B e. CC /\ A e. CC /\ C e. X)) -> ((B x. A)SC) = (BS(ASC)))
9		3ancoma 781	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X) <-> (B e. CC /\ A e. CC /\ C e. X))
10	8, 9	sylan2b 452	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((B x. A)SC) = (BS(ASC)))
11	4, 7, 10	3eqtr3d 1512	1 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> (AS(BSC)) = (BS(ASC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   x. cmul 5219  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  .scns 8158

This theorem is referenced by:  nvmdi 8222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-c 5220  df-mul 5226  df-grp 7987  df-gid 7988  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171

Copyright terms: Public domain