Theorem nvsid 8244

Description: Identity element for the scalar product of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	|- X = (Base` U)
nvscl.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
nvsid	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)

Proof of Theorem nvsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
2	1	vafval 8218	. . 3 |- (+v` U) = (1st` (1st` U))
3		nvscl.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
4	3	smfval 8220	. . 3 |- S = (2nd` (1st` U))
5		nvscl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
6	5, 1	bafval 8219	. . 3 |- X = ran (+v` U)
7	2, 4, 6	vcid 8166	. 2 |- (((1st` U) e. CVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
8		eqid 1478	. . 3 |- (1st` U) = (1st` U)
9	8	nvvc 8230	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (1st` U) e. CVec)
10	7, 9	sylan 450	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  1stc1st 4083  1c1 5247  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202

This theorem is referenced by:  nvmul0or 8268  nvnncan 8279  nvpi 8290  nvge0 8298  ipval2lem3 8351  ipval2 8353  ipval2lem6 8357  ipid 8359  lnoadd 8415  ip1ilem 8481  ip2i 8483  ipdirilem 8484  ipasslem1 8486  ipasslem4 8489  ipasslem10 8495  ubthlem8 8532  minveclem19 8559  minveclem35 8575  hlmulid 8603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain