Theorem nvss 8208

Description: Structure of the class of all normed complex vectors spaces.

Assertion

Ref	Expression
nvss	|- NrmCVec (_ ((V X. V) X. V)

Proof of Theorem nvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nv 8207	. 2 |- NrmCVec = {<.<.g, s>., n>. | (<.g, s>. e. CVec /\ n:ran g-->RR /\ A.x e. ran g(((n` x) = 0 -> x = (Id` g)) /\ A.y e. CC (n` (ysx)) = ((abs` y) x. (n` x)) /\ A.y e. ran g(n` (xgy)) <_ ((n` x) + (n` y))))}
2		oprabss 4012	. 2 |- {<.<.g, s>., n>. | (<.g, s>. e. CVec /\ n:ran g-->RR /\ A.x e. ran g(((n` x) = 0 -> x = (Id` g)) /\ A.y e. CC (n` (ysx)) = ((abs` y) x. (n` x)) /\ A.y e. ran g(n` (xgy)) <_ ((n` x) + (n` y))))} (_ ((V X. V) X. V)
3	1, 2	eqsstr 2094	1 |- NrmCVec (_ ((V X. V) X. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050  <.cop 2415   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  ran crn 3177  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307  abscabs 6751  Idcgi 8031  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199

This theorem is referenced by:  nvrel 8217  nvvop 8224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-oprab 3972  df-nv 8207

Copyright terms: Public domain