Theorem nvz0 8248

Description: The norm of a zero vector is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	|- Z = (0v` U)
nvz0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	|- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` U)
2		nvz0.5	. . . 4 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 8207	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> Z e. (Base` U))
4		0re 5420	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	4	leid 5592	. . . . 5 |- 0 <_ 0
6	4, 5	pm3.2i 285	. . . 4 |- (0 e. RR /\ 0 <_ 0)
7		eqid 1473	. . . . 5 |- (.s` U) = (.s` U)
8		nvz0.6	. . . . 5 |- N = (norm` U)
9	1, 7, 8	nvsge0 8243	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (0 e. RR /\ 0 <_ 0) /\ Z e. (Base` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
10	6, 9	mp3an2 902	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
11	3, 10	mpdan 703	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
12	1, 7, 2	nv0 8210	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (0(.s` U)Z) = Z)
13	3, 12	mpdan 703	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (0(.s` U)Z) = Z)
14	13	fveq2d 3719	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (N` Z))
15	1, 8	nvcl 8239	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` Z) e. RR)
16	15	recnd 5295	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` Z) e. CC)
17	3, 16	mpdan 703	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) e. CC)
18		mul02t 5424	. . 3 |- ((N` Z) e. CC -> (0 x. (N` Z)) = 0)
19	17, 18	syl 10	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (0 x. (N` Z)) = 0)
20	11, 14, 19	3eqtr3d 1512	1 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   x. cmul 5219   <_ cle 5275  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  .scns 8158  0vcn0v 8159  normcnm 8161

This theorem is referenced by:  nvz 8249  nvge0 8254  ipid 8310  nmosetn0 8373  nmo0 8396  nmlnoubi 8401  nmblolbii 8403  blocnilem 8408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171

Copyright terms: Public domain