Theorem nvzcl 8251

Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvzcl.1	|- X = (Base` U)
nvzcl.6	|- Z = (0v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvzcl	|- (U e. NrmCVec -> Z e. X)

Proof of Theorem nvzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
2	1	nvgrp 8232	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (+v` U) e. Grp)
3		nvzcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
4	3, 1	bafval 8219	. . 3 |- X = ran (+v` U)
5		nvzcl.6	. . . 4 |- Z = (0v` U)
6	1, 5	0vfval 8221	. . 3 |- Z = (Id` (+v` U))
7	4, 6	grpidcl 8055	. 2 |- ((+v` U) e. Grp -> Z e. X)
8	2, 7	syl 10	1 |- (U e. NrmCVec -> Z e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  Grpcgr 8030  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  0vcn0v 8203

This theorem is referenced by:  nvzs 8261  nvmeq0 8280  nvz0 8292  elimnv 8310  nvnd 8315  imsmetlem 8319  nvlmle 8329  ip0r 8366  ip0l 8367  sspz 8390  lno0 8413  lnomul 8417  nvo00 8420  nmosetn0 8424  nmoge0 8426  0oo 8445  0lno 8446  nmo0 8447  blocni 8461  ubthlem6 8530  minveclem2 8542  minvecex 8574  hl0cl 8600  hhshsslem2 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain