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Theorem o1add 12335
Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1add  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F  +  G
)  e.  O ( 1 ) )

Proof of Theorem o1add
Dummy variables  x  y  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9007 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
2 addcl 9006 . 2  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  +  n
)  e.  CC )
3 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  m  e.  CC )
4 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  n  e.  CC )
53, 4addcld 9041 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( m  +  n )  e.  CC )
65abscld 12166 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  (
m  +  n ) )  e.  RR )
73abscld 12166 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  m
)  e.  RR )
84abscld 12166 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  n
)  e.  RR )
97, 8readdcld 9049 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  ( abs `  n ) )  e.  RR )
10 simp1l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  x  e.  RR )
11 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  y  e.  RR )
1210, 11readdcld 9049 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
133, 4abstrid 12186 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  (
m  +  n ) )  <_  ( ( abs `  m )  +  ( abs `  n
) ) )
14 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  m
)  <_  x )
15 simp3r 986 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  n
)  <_  y )
167, 8, 10, 11, 14, 15le2addd 9577 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  ( abs `  n ) )  <_  ( x  +  y ) )
176, 9, 12, 13, 16letrd 9160 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  /\  (
( abs `  m
)  <_  x  /\  ( abs `  n )  <_  y ) )  ->  ( abs `  (
m  +  n ) )  <_  ( x  +  y ) )
18173expia 1155 . 2  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  m )  <_  x  /\  ( abs `  n
)  <_  y )  ->  ( abs `  (
m  +  n ) )  <_  ( x  +  y ) ) )
191, 2, 18o1of2 12334 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F  +  G
)  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   CCcc 8922   RRcr 8923    + caddc 8927    <_ cle 9055   abscabs 11967   O ( 1 )co1 12208
This theorem is referenced by:  o1add2  12345  o1dif  12351  fsumo1  12519  mudivsum  21092  selberglem2  21108  pntrsumo1  21127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-ico 10855  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-o1 12212
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