MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd Unicode version

Theorem o1bdd 12001
Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1bdd  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem o1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F  e.  O (
1 ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5359 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 12000 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3214 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  RR )
8 elo12 11997 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
101, 9mpbid 201 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    dom cdm 4688   -->wf 5217   ` cfv 5221   CCcc 8731   RRcr 8732    <_ cle 8864   abscabs 11715   O ( 1 )co1 11956
This theorem is referenced by:  o1of2  12082  o1rlimmul  12088  o1cxp  20265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-ico 10658  df-o1 11960
  Copyright terms: Public domain W3C validator