MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd Unicode version

Theorem o1bdd 12007
Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1bdd  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem o1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F  e.  O (
1 ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5395 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 12006 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3215 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  RR )
8 elo12 12003 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
101, 9mpbid 201 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   dom cdm 4691   -->wf 5253   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738    <_ cle 8870   abscabs 11721   O ( 1 )co1 11962
This theorem is referenced by:  o1of2  12088  o1rlimmul  12094  o1cxp  20271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-ico 10664  df-o1 11966
  Copyright terms: Public domain W3C validator