MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd Structured version   Unicode version

Theorem o1bdd 12317
Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1bdd  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem o1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F  e.  O (
1 ) )
2 simpr 448 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5587 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 12316 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3375 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  RR )
8 elo12 12313 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
101, 9mpbid 202 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446   CCcc 8980   RRcr 8981    <_ cle 9113   abscabs 12031   O ( 1 )co1 12272
This theorem is referenced by:  o1of2  12398  o1rlimmul  12404  o1cxp  20805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ico 10914  df-o1 12276
  Copyright terms: Public domain W3C validator