MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd2 Unicode version

Theorem o1bdd2 12017
Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval  A  i^i  (  -oo ,  y ) by a function  M ( y ), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1bdd2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
o1bdd2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
o1bdd2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1bdd2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
o1bdd2.5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
o1bdd2.6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  B )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
o1bdd2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( abs `  B )  <_  m )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, y   
x, C, y    m, M, x    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( m)    B( x)    C( m)    M( y)

Proof of Theorem o1bdd2
StepHypRef Expression
1 o1bdd2.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 o1bdd2.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 o1bdd2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
43abscld 11920 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
5 o1bdd2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
63lo1o12 12009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
75, 6mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
8 o1bdd2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  C  <_ 
y ) )  ->  M  e.  RR )
9 o1bdd2.6 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
( y  e.  RR  /\  C  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  B )  <_  M
)
101, 2, 4, 7, 8, 9lo1bdd2 12000 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( abs `  B )  <_  m )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738    < clt 8869    <_ cle 8870   abscabs 11721   O ( 1 )co1 11962   <_ O ( 1 )clo1 11963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966  df-lo1 11967
  Copyright terms: Public domain W3C validator