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Theorem o1compt 12373
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
o1compt.2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
o1compt.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
o1compt.4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
o1compt.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
o1compt  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, x, y    C, m, x    ph, m, x, y    m, F, x
Allowed substitution hints:    C( y)    F( y)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 o1compt.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
3 o1compt.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( y  e.  B  |->  C )  =  ( y  e.  B  |->  C )
53, 4fmptd 5885 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  C ) : B --> A )
6 o1compt.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
7 o1compt.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
8 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <_  z
9 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
m
10 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
11 nffvmpt1 5728 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( y  e.  B  |->  C ) `  z )
129, 10, 11nfbr 4248 . . . . . . . 8  |-  F/ y  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )
138, 12nfim 1832 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )
14 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ z ( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
15 breq2 4208 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  y ) )
16 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
1716breq2d 4216 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )  <-> 
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) ) )
1815, 17imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) ) ) )
1913, 14, 18cbvral 2920 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 y ) ) )
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
214fvmpt2 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y )  =  C )
2220, 3, 21syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  y
)  =  C )
2322breq2d 4216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y )  <-> 
m  <_  C )
)
2423imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2524ralbidva 2713 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2619, 25syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2726rexbidv 2718 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2827adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
297, 28mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) ) )
301, 2, 5, 6, 29o1co 12372 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446   CCcc 8980   RRcr 8981    <_ cle 9113   O ( 1 )co1 12272
This theorem is referenced by:  dchrisum0  21206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ico 10914  df-o1 12276
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