MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1const Unicode version

Theorem o1const 12087
Description: A constant function is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1const  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem o1const
StepHypRef Expression
1 rlimconst 12012 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B )
2 rlimo1 12084 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  B  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
31, 2syl 17 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1685    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   CCcc 8730   RRcr 8731    ~~> r crli 11953   O ( 1 )co1 11954
This theorem is referenced by:  fsumo1  12264  dchrmusum2  20637  dchrvmasumlem2  20641  dchrvmasumiflem2  20645  dchrisum0fno1  20654  rpvmasum2  20655  dchrisum0lem1  20659  dchrisum0lem2a  20660  dchrisum0lem2  20661  dchrmusumlem  20665  rplogsum  20670  dirith2  20671  mulogsumlem  20674  mulogsum  20675  mulog2sumlem2  20678  mulog2sumlem3  20679  vmalogdivsum2  20681  2vmadivsumlem  20683  selberglem1  20688  selberg3lem1  20700  selberg4lem1  20703  selberg4  20704  pntrmax  20707  pntrsumo1  20708  selberg3r  20712  selberg4r  20713  selberg34r  20714  pntrlog2bndlem2  20721  pntrlog2bndlem3  20722  pntrlog2bndlem4  20723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-ico 10656  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-rlim 11957  df-o1 11958
  Copyright terms: Public domain W3C validator