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Theorem o1cxp 20813
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
o1cxp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
o1cxp.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1cxp.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1cxp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
2 o1f 12323 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : dom  (
x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 o1cxp.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5367 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5581 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 o1bdd 12325 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m ) )
111, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )
)
12 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1512, 4, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( B  ^ c  C
) )
17 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ^ c  C )  e.  _V
18 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
1918fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  ^ c  C )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C ) )
2012, 17, 19sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C
) )
2116, 20eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
2221ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
23 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )
24 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
25 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  ^ c
26 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
2724, 25, 26nfov 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )
28 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
2927, 28nfeq 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
30 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
3130oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )
32 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3331, 32eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) ) )
3423, 29, 33cbvral 2928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  A. z  e.  A  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) )
3522, 34sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3635r19.21bi 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3736ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3837fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) ) )
399ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  CC )
4039ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  CC )
41 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  C  e.  CC )
43 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  0  <_  (
Re `  C )
)
45 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
46 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
47 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  m ,  m , 
0 )  e.  RR )
4845, 46, 47sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
4948adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5040abscld 12238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  e.  RR )
5145adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  e.  RR )
52 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)
53 max2 10775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5446, 45, 53sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5650, 51, 49, 52, 55letrd 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5740, 42, 44, 49, 56abscxpbnd 20637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
5838, 57eqbrtrrd 4234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
5958expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )
6059imim2d 50 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)  ->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
6160ralimdva 2784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
624, 1o1mptrcl 12416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6341adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
6462, 63cxpcld 20599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
6564, 18fmptd 5893 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
6665adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
67 o1dm 12324 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
681, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
697, 68eqsstr3d 3383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7069adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
71 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
72 max1 10773 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7346, 45, 72sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7441adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  C  e.  CC )
7574recld 11999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( Re `  C
)  e.  RR )
7648, 73, 75recxpcld 20614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re `  C ) )  e.  RR )
7774abscld 12238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( abs `  C
)  e.  RR )
78 pire 20372 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
79 remulcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8077, 78, 79sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8180reefcld 12690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) )  e.  RR )
8276, 81remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )
83 elo12r 12322 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
84833expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8566, 70, 71, 82, 84syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8661, 85syld 42 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
8786rexlimdvva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
8811, 87mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    <_ cle 9121   Recre 11902   abscabs 12039   O (
1 )co1 12280   expce 12664   picpi 12669    ^ c ccxp 20453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455
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