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Theorem o1cxp 20285
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
o1cxp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
o1cxp.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1cxp.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1cxp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
2 o1f 12019 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : dom  (
x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 o1cxp.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5186 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5396 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 o1bdd 12021 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m ) )
111, 9, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )
)
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1512, 4, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( B  ^ c  C
) )
17 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ^ c  C )  e.  _V
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
1918fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  ^ c  C )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C ) )
2012, 17, 19sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C
) )
2116, 20eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
2221ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
23 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )
24 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
25 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2624, 25nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
27 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  ^ c
28 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
2926, 27, 28nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )
30 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
3130, 25nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
3229, 31nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )
35 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3634, 35eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) ) )
3723, 32, 36cbvral 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  A. z  e.  A  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) )
3822, 37sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3938r19.21bi 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
4039ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
4140fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) ) )
42 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  CC )
439, 42sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  CC )
4443ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  CC )
45 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  C  e.  CC )
47 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  0  <_  (
Re `  C )
)
49 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
50 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
51 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  m ,  m , 
0 )  e.  RR )
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5352adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5444abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  e.  RR )
5549adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  e.  RR )
56 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)
57 max2 10532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5850, 49, 57sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
6054, 55, 53, 56, 59letrd 8989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
6144, 46, 48, 53, 60abscxpbnd 20109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
6241, 61eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
6362expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )
6463imim2d 48 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)  ->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
6564ralimdva 2634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
664, 1o1mptrcl 12112 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6745adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
6866, 67cxpcld 20071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
6968, 18fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
7069adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
71 o1dm 12020 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
721, 71syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
737, 72eqsstr3d 3226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7473adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
75 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
76 max1 10530 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7750, 49, 76sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7845adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  C  e.  CC )
7978recld 11695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( Re `  C
)  e.  RR )
8052, 77, 79recxpcld 20086 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re `  C ) )  e.  RR )
8178abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( abs `  C
)  e.  RR )
82 pire 19848 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
83 remulcl 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8584reefcld 12385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) )  e.  RR )
8680, 85remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )
87 elo12r 12018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
88873expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8970, 74, 75, 86, 88syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
9065, 89syld 40 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
9190rexlimdvva 2687 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
9211, 91mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884   Recre 11598   abscabs 11735   O (
1 )co1 11976   expce 12359   picpi 12364    ^ c ccxp 19929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
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