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Theorem o1cxp 20263
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
o1cxp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
o1cxp.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1cxp.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1cxp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem o1cxp
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
2 o1f 11997 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : dom  (  x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  (  x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 o1cxp.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5168 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  (  x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 o1bdd 11999 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m ) )
111, 9, 10syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )
)
12 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1512, 4, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( B  ^ c  C
) )
17 ovex 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ^ c  C )  e.  _V
18 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
1918fvmpt2 5569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  ^ c  C )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C ) )
2012, 17, 19sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C
) )
2116, 20eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
2221ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
23 nfv 1606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )
24 nfmpt1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
25 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2624, 25nffv 5492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
27 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  ^ c
28 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
2926, 27, 28nfov 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )
30 nfmpt1 4110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
3130, 25nffv 5492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
3229, 31nfeq 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
33 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
3433oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )
35 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3634, 35eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) ) )
3723, 32, 36cbvral 2761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  A. z  e.  A  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) )
3822, 37sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3938r19.21bi 2642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
4039ad2ant2r 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
4140fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) ) )
42 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  CC )
439, 42sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  CC )
4443ad2ant2r 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  CC )
45 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  C  e.  CC )
47 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
4847ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  0  <_  (
Re `  C )
)
49 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
50 0re 8833 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
51 ifcl 3602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  m ,  m , 
0 )  e.  RR )
5249, 50, 51sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5352adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5444abscld 11912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  e.  RR )
5549adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  e.  RR )
56 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)
57 max2 10510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5850, 49, 57sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5958adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
6054, 55, 53, 56, 59letrd 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
6144, 46, 48, 53, 60abscxpbnd 20087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
6241, 61eqbrtrrd 4046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
6362expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )
6463imim2d 50 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)  ->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
6564ralimdva 2622 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
664, 1o1mptrcl 12090 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6745adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
6866, 67cxpcld 20049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
6968, 18fmptd 5645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
7069adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
71 o1dm 11998 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
721, 71syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
737, 72eqsstr3d 3214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7473adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
75 simprl 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
76 max1 10508 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7750, 49, 76sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7845adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  C  e.  CC )
7978recld 11673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( Re `  C
)  e.  RR )
8052, 77, 79recxpcld 20064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re `  C ) )  e.  RR )
8178abscld 11912 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( abs `  C
)  e.  RR )
82 pire 19826 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
83 remulcl 8817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8584reefcld 12363 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) )  e.  RR )
8680, 85remulcld 8858 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )
87 elo12r 11996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
88873expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8970, 74, 75, 86, 88syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
9065, 89syld 42 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
9190rexlimdvva 2675 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
9211, 91mpd 16 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   ifcif 3566   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   dom cdm 4688   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732    x. cmul 8737    <_ cle 8863   Recre 11576   abscabs 11713   O (
1 )co1 11954   expce 12337   picpi 12342    ^ c ccxp 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-o1 11958  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-cxp 19909
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