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Theorem o1cxp 20269
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
o1cxp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
o1cxp.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1cxp.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1cxp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
2 o1f 12003 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : dom  (
x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 o1cxp.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5170 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5380 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 o1bdd 12005 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m ) )
111, 9, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )
)
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1512, 4, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( B  ^ c  C
) )
17 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ^ c  C )  e.  _V
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
1918fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  ^ c  C )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C ) )
2012, 17, 19sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C
) )
2116, 20eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
2221ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
23 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )
24 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
25 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2624, 25nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
27 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  ^ c
28 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
2926, 27, 28nfov 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )
30 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
3130, 25nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
3229, 31nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
33 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
3433oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3634, 35eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) ) )
3723, 32, 36cbvral 2760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  A. z  e.  A  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) )
3822, 37sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3938r19.21bi 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
4039ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
4140fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) ) )
42 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  CC )
439, 42sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  CC )
4443ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  CC )
45 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  C  e.  CC )
47 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  0  <_  (
Re `  C )
)
49 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
50 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
51 ifcl 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  m ,  m , 
0 )  e.  RR )
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5352adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5444abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  e.  RR )
5549adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  e.  RR )
56 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)
57 max2 10516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5850, 49, 57sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
6054, 55, 53, 56, 59letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
6144, 46, 48, 53, 60abscxpbnd 20093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
6241, 61eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
6362expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )
6463imim2d 48 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)  ->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
6564ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
664, 1o1mptrcl 12096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6745adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
6866, 67cxpcld 20055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
6968, 18fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
7069adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
71 o1dm 12004 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
721, 71syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
737, 72eqsstr3d 3213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7473adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
75 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
76 max1 10514 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7750, 49, 76sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7845adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  C  e.  CC )
7978recld 11679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( Re `  C
)  e.  RR )
8052, 77, 79recxpcld 20070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re `  C ) )  e.  RR )
8178abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( abs `  C
)  e.  RR )
82 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
83 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8481, 82, 83sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8584reefcld 12369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) )  e.  RR )
8680, 85remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )
87 elo12r 12002 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
88873expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8970, 74, 75, 86, 88syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
9065, 89syld 40 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
9190rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
9211, 91mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    <_ cle 8868   Recre 11582   abscabs 11719   O (
1 )co1 11960   expce 12343   picpi 12348    ^ c ccxp 19913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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