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Theorem o1dif 12411
Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1dif.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1dif.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1dif  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
2 o1sub 12397 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) )
32expcom 425 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
75, 6subcld 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
87ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( B  -  C
)  e.  CC )
9 dmmptg 5358 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  -  C )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
11 o1dm 12312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  C_  RR )
121, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  C_  RR )
1310, 12eqsstr3d 3375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
14 reex 9070 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1514ssex 4339 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
1613, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
17 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
1916, 5, 7, 17, 18offval2 6313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C ) ) ) )
205, 6nncand 9405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  ( B  -  C ) )  =  C )
2120mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2219, 21eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2322eleq1d 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
244, 23sylibd 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
25 o1add 12395 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
2625ex 424 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
271, 26syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) ) )
28 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2916, 7, 6, 18, 28offval2 6313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C ) ) )
305, 6npcand 9404 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  -  C
)  +  C )  =  B )
3130mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3229, 31eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3332eleq1d 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3427, 33sylibd 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3524, 34impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   dom cdm 4869  (class class class)co 6072    o Fcof 6294   CCcc 8977   RRcr 8978    + caddc 8982    - cmin 9280   O ( 1 )co1 12268
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  21176  dchrvmasumiflem2  21184  dchrisum0lem2a  21199  dchrisum0lem2  21200  rplogsum  21209  dirith2  21210  mulogsumlem  21213  mulogsum  21214  vmalogdivsum2  21220  vmalogdivsum  21221  2vmadivsumlem  21222  selberg3lem1  21239  selberg4lem1  21242  selberg4  21243  pntrlog2bndlem4  21262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ico 10911  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-o1 12272
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