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Theorem o1dif 12099
Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1dif.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1dif.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1dif  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
2 o1sub 12085 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) )
32expcom 424 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
41, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
75, 6subcld 9153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
87ralrimiva 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( B  -  C
)  e.  CC )
9 dmmptg 5168 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  -  C )  e.  CC  ->  dom  (  x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
108, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
11 o1dm 12000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  dom  (  x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  C_  RR )
121, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  C_  RR )
1310, 12eqsstr3d 3214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
14 reex 8824 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1514ssex 4159 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
1613, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
17 eqidd 2285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 eqidd 2285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
1916, 5, 7, 17, 18offval2 6057 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C ) ) ) )
205, 6nncand 9158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  ( B  -  C ) )  =  C )
2120mpteq2dva 4107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2219, 21eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2322eleq1d 2350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
244, 23sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
25 o1add 12083 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
2625ex 423 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
271, 26syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) ) )
28 eqidd 2285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2916, 7, 6, 18, 28offval2 6057 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C ) ) )
305, 6npcand 9157 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  -  C
)  +  C )  =  B )
3130mpteq2dva 4107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3229, 31eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3332eleq1d 2350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3427, 33sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3524, 34impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153    e. cmpt 4078    dom cdm 4688  (class class class)co 5820    o Fcof 6038   CCcc 8731   RRcr 8732    + caddc 8736    - cmin 9033   O ( 1 )co1 11956
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  20639  dchrvmasumiflem2  20647  dchrisum0lem2a  20662  dchrisum0lem2  20663  rplogsum  20672  dirith2  20673  mulogsumlem  20676  mulogsum  20677  vmalogdivsum2  20683  vmalogdivsum  20684  2vmadivsumlem  20685  selberg3lem1  20702  selberg4lem1  20705  selberg4  20706  pntrlog2bndlem4  20725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10658  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-o1 11960
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