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Theorem o1dif 12105
Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1dif.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1dif.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1dif  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
2 o1sub 12091 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) )
32expcom 424 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
41, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
75, 6subcld 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
87ralrimiva 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( B  -  C
)  e.  CC )
9 dmmptg 5172 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  -  C )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
108, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
11 o1dm 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  C_  RR )
121, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  C_  RR )
1310, 12eqsstr3d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
14 reex 8830 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1514ssex 4160 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
1613, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
17 eqidd 2286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 eqidd 2286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
1916, 5, 7, 17, 18offval2 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C ) ) ) )
205, 6nncand 9164 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  ( B  -  C ) )  =  C )
2120mpteq2dva 4108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2219, 21eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2322eleq1d 2351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
244, 23sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
25 o1add 12089 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
2625ex 423 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
271, 26syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) ) )
28 eqidd 2286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2916, 7, 6, 18, 28offval2 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C ) ) )
305, 6npcand 9163 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  -  C
)  +  C )  =  B )
3130mpteq2dva 4108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3229, 31eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3332eleq1d 2351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3427, 33sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3524, 34impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   _Vcvv 2790    C_ wss 3154    e. cmpt 4079   dom cdm 4691  (class class class)co 5860    o Fcof 6078   CCcc 8737   RRcr 8738    + caddc 8742    - cmin 9039   O ( 1 )co1 11962
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  20645  dchrvmasumiflem2  20653  dchrisum0lem2a  20668  dchrisum0lem2  20669  rplogsum  20678  dirith2  20679  mulogsumlem  20682  mulogsum  20683  vmalogdivsum2  20689  vmalogdivsum  20690  2vmadivsumlem  20691  selberg3lem1  20708  selberg4lem1  20711  selberg4  20712  pntrlog2bndlem4  20731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966
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