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Theorem o1lo1 12286
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1lo1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 12279 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
3 lo1dm 12268 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
43adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_ O
( 1 ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
6 o1lo1.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
76ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
8 dmmptg 5326 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
109sseq1d 3335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
11 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
126adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1312adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  m  e.  RR )
1513, 14absled 12188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( abs `  B )  <_  m 
<->  ( -u m  <_  B  /\  B  <_  m
) ) )
16 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u m  <_  B  /\  B  <_  m )  <-> 
( B  <_  m  /\  -u m  <_  B
) )
17 lenegcon1 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u m  <_  B 
<-> 
-u B  <_  m
) )
1814, 13, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u m  <_  B  <->  -u B  <_  m
) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  m  /\  -u m  <_  B )  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )
2016, 19syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( -u m  <_  B  /\  B  <_  m )  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )
2115, 20bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( abs `  B )  <_  m 
<->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) )
2221imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) ) )
2322ralbidva 2682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
2423rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) ) )
2524biimpd 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
26 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( B  <_  n  <->  B  <_  m ) )
2726anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
) ) )
2827imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
2928rexralbidv 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p )
) ) )
30 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  m  ->  ( -u B  <_  p  <->  -u B  <_  m ) )
3130anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  m  ->  (
( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
)  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) )
3231imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  m  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) ) )
3332rexralbidv 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  m  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p )
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
3429, 33rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) )
35343anidm12 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) ) )
3611, 25, 35ee12an 1369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
3736rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
38 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  n  <_  p )  ->  p  e.  RR )
39 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  -.  n  <_  p )  ->  n  e.  RR )
4038, 39ifclda 3726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
41 max2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  p  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
)
4241ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )
4312adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4443renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
45 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  p  e.  RR )
46 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
47 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
4845, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
49 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  p  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( ( -u B  <_  p  /\  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5044, 45, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  <_  p  /\  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
)  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5142, 50mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  p  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
52 lenegcon1 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B
) )
5343, 48, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  <->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B
) )
5451, 53sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  p  ->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B ) )
55 max1 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
)
5655ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )
57 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5843, 46, 48, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5956, 58mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6054, 59anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  <_  p  /\  B  <_  n )  ->  ( -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6160ancomsd 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  ->  ( -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6243, 48absled 12188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  <->  (
-u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
) ) )
6361, 62sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6463imim2d 50 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  ->  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6564ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6665reximdv 2777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
67 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  (
( abs `  B
)  <_  m  <->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6867imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6968rexralbidv 2710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
) ) )
7069rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR  /\ 
E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) )
7140, 66, 70ee12an 1369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) ) )
7271rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )
) )
7337, 72impbid 184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) ) ) )
74 rexanre 12105 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
7574adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
76752rexbidv 2709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
7773, 76bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
78 reeanv 2835 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) )  <-> 
( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
7977, 78syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
80 rexcom 2829 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) )
81 rexcom 2829 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n ) )
82 rexcom 2829 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p )  <->  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) )
8381, 82anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) )  <->  ( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
8479, 80, 833bitr4g 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
85 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
8612recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
8785, 86elo1mpt 12283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) ) )
8885, 12ello1mpt 12270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )
8912renegcld 9420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
9085, 89ello1mpt 12270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_ O
( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
9188, 90anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )  <->  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
9284, 87, 913bitr4d 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_ O
( 1 ) ) ) )
9392ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) ) )
9410, 93sylbid 207 . 2  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) ) )
952, 5, 94pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413   RRcr 8945    <_ cle 9077   -ucneg 9248   abscabs 11994   O (
1 )co1 12235   <_ O ( 1 )clo1 12236
This theorem is referenced by:  o1lo12  12287  o1lo1d  12288  icco1  12289  lo1sub  12379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-o1 12239  df-lo1 12240
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