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Theorem o1lo1 12107
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1lo1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables  m  c  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 12100 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
3 lo1dm 12089 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
43adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR )
54a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_ O
( 1 ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR ) )
6 o1lo1.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
76ralrimiva 2702 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
8 dmmptg 5252 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
109sseq1d 3281 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
11 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
126adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1312adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  m  e.  RR )
1513, 14absled 12009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( abs `  B )  <_  m 
<->  ( -u m  <_  B  /\  B  <_  m
) ) )
16 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u m  <_  B  /\  B  <_  m )  <-> 
( B  <_  m  /\  -u m  <_  B
) )
17 lenegcon1 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u m  <_  B 
<-> 
-u B  <_  m
) )
1814, 13, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u m  <_  B  <->  -u B  <_  m
) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  <_  m  /\  -u m  <_  B )  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )
2016, 19syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( -u m  <_  B  /\  B  <_  m )  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )
2115, 20bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( abs `  B )  <_  m 
<->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) )
2221imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) ) )
2322ralbidva 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
2423rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) ) )
2524biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
26 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( B  <_  n  <->  B  <_  m ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
) ) )
2827imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
2928rexralbidv 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p )
) ) )
30 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  m  ->  ( -u B  <_  p  <->  -u B  <_  m ) )
3130anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  m  ->  (
( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
)  <->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m
) ) )
3231imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  m  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) ) )
3332rexralbidv 2663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  m  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  p )
)  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) ) )
3429, 33rspc2ev 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m ) ) )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) )
35343anidm12 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  m  /\  -u B  <_  m )
) )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) ) )
3611, 25, 35ee12an 1363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
3736rexlimdva 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  ->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) ) ) )
38 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  n  <_  p )  ->  p  e.  RR )
39 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  -.  n  <_  p )  ->  n  e.  RR )
4038, 39ifclda 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
41 max2 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  p  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
)
4241ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )
4312adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
4443renegcld 9300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
45 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  p  e.  RR )
46 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  n  e.  RR )
47 ifcl 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
4845, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )
49 letr 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  p  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( ( -u B  <_  p  /\  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5044, 45, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  <_  p  /\  p  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
)  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5142, 50mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  p  ->  -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
52 lenegcon1 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( -u B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B
) )
5343, 48, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  <->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B
) )
5451, 53sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  p  ->  -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B ) )
55 max1 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  n  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
)
5655ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )
57 letr 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) )  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5843, 46, 48, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  n  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
)  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
5956, 58mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  n  ->  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6054, 59anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  <_  p  /\  B  <_  n )  ->  ( -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6160ancomsd 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  ->  ( -u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6243, 48absled 12009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )  <->  (
-u if ( n  <_  p ,  p ,  n )  <_  B  /\  B  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n )
) ) )
6361, 62sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6463imim2d 48 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  p  e.  RR ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  ->  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6564ralimdva 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  ->  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6665reximdv 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
67 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  (
( abs `  B
)  <_  m  <->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )
6867imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) ) )
6968rexralbidv 2663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  if ( n  <_  p ,  p ,  n )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m )  <->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  if (
n  <_  p ,  p ,  n )
) ) )
7069rspcev 2960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( n  <_  p ,  p ,  n )  e.  RR  /\ 
E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  if ( n  <_  p ,  p ,  n ) ) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) )
7140, 66, 70ee12an 1363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  p  e.  RR )
)  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p ) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) ) )
7271rexlimdvva 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  ->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )
) )
7337, 72impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) ) ) )
74 rexanre 11926 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
7574adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
76752rexbidv 2662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( B  <_  n  /\  -u B  <_  p
) )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
7773, 76bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
78 reeanv 2783 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  RR  E. p  e.  RR  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) )  <-> 
( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
7977, 78syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
80 rexcom 2777 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m
)  <->  E. m  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) )
81 rexcom 2777 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n )  <->  E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n ) )
82 rexcom 2777 . . . . . . 7  |-  ( E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p )  <->  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) )
8381, 82anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) )  <->  ( E. n  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. p  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
8479, 80, 833bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  m )  <->  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n )  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p ) ) ) )
85 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
8612recnd 8951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
8785, 86elo1mpt 12104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  m ) ) )
8885, 12ello1mpt 12091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  B  <_  n ) ) )
8912renegcld 9300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
9085, 89ello1mpt 12091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_ O
( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) )
9188, 90anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) )  <->  ( E. c  e.  RR  E. n  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  B  <_  n
)  /\  E. c  e.  RR  E. p  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  -u B  <_  p
) ) ) )
9284, 87, 913bitr4d 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B
)  e.  <_ O
( 1 ) ) ) )
9392ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) ) )
9410, 93sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) ) )
952, 5, 94pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_ O ( 1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   ifcif 3641   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   dom cdm 4771   ` cfv 5337   RRcr 8826    <_ cle 8958   -ucneg 9128   abscabs 11815   O (
1 )co1 12056   <_ O ( 1 )clo1 12057
This theorem is referenced by:  o1lo12  12108  o1lo1d  12109  icco1  12110  lo1sub  12200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-ico 10754  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-o1 12060  df-lo1 12061
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