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Theorem o1mul 12053
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1mul  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  O ( 1 ) )

Proof of Theorem o1mul
StepHypRef Expression
1 remulcl 8790 . 2  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( m  x.  n
)  e.  RR )
2 mulcl 8789 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 simp2l 986 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  x  e.  CC )
4 simp2r 987 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  y  e.  CC )
53, 4absmuld 11901 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
63abscld 11883 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
7 simp1l 984 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  m  e.  RR )
84abscld 11883 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  y
)  e.  RR )
9 simp1r 985 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  n  e.  RR )
103absge0d 11891 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
114absge0d 11891 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  0  <_  ( abs `  y ) )
12 simp3l 988 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  m )
13 simp3r 989 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  y
)  <_  n )
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lemul12ad 9667 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y ) )  <_  ( m  x.  n ) )
155, 14eqbrtrd 4017 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  <_  ( m  x.  n ) )
16153expia 1158 . 2  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  <_  ( m  x.  n ) ) )
171, 2, 16o1of2 12051 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    o Fcof 6010   CCcc 8703   RRcr 8704    x. cmul 8710    <_ cle 8836   abscabs 11684   O (
1 )co1 11925
This theorem is referenced by:  o1mul2  12063  chebbnd2  20588  chto1lb  20589  chpo1ub  20591  selberg2lem  20661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-ico 10628  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-o1 11929
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