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Theorem o1mul 12104
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1mul  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  O ( 1 ) )

Proof of Theorem o1mul
Dummy variables  x  y  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 8838 . 2  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( m  x.  n
)  e.  RR )
2 mulcl 8837 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  x  e.  CC )
4 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  y  e.  CC )
53, 4absmuld 11952 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y
) ) )
63abscld 11934 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
7 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  m  e.  RR )
84abscld 11934 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  y
)  e.  RR )
9 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  n  e.  RR )
103absge0d 11942 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
114absge0d 11942 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  0  <_  ( abs `  y ) )
12 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  m )
13 simp3r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  y
)  <_  n )
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lemul12ad 9715 . . . 4  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  y ) )  <_  ( m  x.  n ) )
155, 14eqbrtrd 4059 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  (
( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n ) )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  <_  ( m  x.  n ) )
16153expia 1153 . 2  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x  x.  y ) )  <_  ( m  x.  n ) ) )
171, 2, 16o1of2 12102 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752    x. cmul 8758    <_ cle 8884   abscabs 11735   O (
1 )co1 11976
This theorem is referenced by:  o1mul2  12114  chebbnd2  20642  chto1lb  20643  chpo1ub  20645  selberg2lem  20715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-o1 11980
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