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Theorem o1of2 12333
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
o1of2.2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
o1of2.3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
Assertion
Ref Expression
o1of2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, F    m, G, n, x, y    R, m, n, x, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    M( m, n)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 12250 . . . 4  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  F : dom  F --> CC )
2 o1bdd 12252 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m ) )
31, 2mpdan 650 . . 3  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
43adantr 452 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
5 o1f 12250 . . . 4  |-  ( G  e.  O ( 1 )  ->  G : dom  G --> CC )
6 o1bdd 12252 . . . 4  |-  ( ( G  e.  O ( 1 )  /\  G : dom  G --> CC )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )
75, 6mpdan 650 . . 3  |-  ( G  e.  O ( 1 )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
87adantl 453 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
9 reeanv 2818 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
10 reeanv 2818 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
11 inss1 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
12 ssralv 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
14 inss2 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
15 ssralv 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
1713, 16anim12i 550 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
18 r19.26 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  <->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
1917, 18sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
20 prth 555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) ) )
21 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  a  e.  RR )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
a  e.  RR )
23 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  b  e.  RR )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
b  e.  RR )
25 o1dm 12251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
2625ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  C_  RR )
2711, 26syl5ss 3302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
2827sselda 3291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
z  e.  RR )
29 maxle 10710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3130biimpd 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
321ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F : dom  F --> CC )
3311sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
34 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3532, 33, 34syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
365ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G : dom  G --> CC )
3714sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
38 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
3936, 37, 38syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4140ralrimivva 2741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4241ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
43 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
4443breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  x
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
4544anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )
) )
46 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x R y )  =  ( ( F `
 z ) R y ) )
4746fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) ) )
4847breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
x R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R y ) )  <_  M
) )
4945, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )
) )
50 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( G `  z )
) )
5150breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  y
)  <_  n  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
5251anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
53 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
) R y )  =  ( ( F `
 z ) R ( G `  z
) ) )
5453fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z ) R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
5554breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R ( G `  z ) ) )  <_  M
) )
5652, 55imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
) )
5749, 56rspc2va 3002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( G `  z
)  e.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  <_  M ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
5835, 39, 42, 57syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
59 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F  Fn  dom  F )
61 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
6236, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G  Fn  dom  G )
63 reex 9014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
64 ssexg 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
6526, 63, 64sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  e. 
_V )
66 dmexg 5070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  O ( 1 )  ->  dom  G  e. 
_V )
6766ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  G  e. 
_V )
68 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
69 eqidd 2388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  F )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
70 eqidd 2388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  G )  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( F  o F R G ) `  z )  =  ( ( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )
7271fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( abs `  (
( F  o F R G ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
7372breq1d 4163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( abs `  (
( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M 
<->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
7458, 73sylibrd 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M ) )
7531, 74imim12d 70 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  /\  b  <_  z )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7620, 75syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7776ralimdva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z
) )  <_  M
) ) )
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
7978adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x R y )  e.  CC )
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( F  o F R G ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
81 ifcl 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
8223, 21, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
83 o1of2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8483adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  M  e.  RR )
85 elo12r 12249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o F R G ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M ) )  -> 
( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) )
86853expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  o F R G ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z
) )  <_  M
)  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
8780, 27, 82, 84, 86syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
8877, 87syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
8919, 88syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9089rexlimdvva 2780 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G  e.  O (
1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9110, 90syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G  e.  O (
1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9291rexlimdvva 2780 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
939, 92syl5bir 210 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
944, 8, 93mp2and 661 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ifcif 3682   class class class wbr 4153   dom cdm 4818    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242   CCcc 8921   RRcr 8922    <_ cle 9054   abscabs 11966   O (
1 )co1 12207
This theorem is referenced by:  o1add  12334  o1mul  12335  o1sub  12336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-ico 10854  df-o1 12211
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