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Theorem o1of2 12102
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
o1of2.2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
o1of2.3  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
Assertion
Ref Expression
o1of2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, F    m, G, n, x, y    R, m, n, x, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    M( m, n)

Proof of Theorem o1of2
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 12019 . . . 4  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  F : dom  F --> CC )
2 o1bdd 12021 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m ) )
31, 2mpdan 649 . . 3  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) )
5 o1f 12019 . . . 4  |-  ( G  e.  O ( 1 )  ->  G : dom  G --> CC )
6 o1bdd 12021 . . . 4  |-  ( ( G  e.  O ( 1 )  /\  G : dom  G --> CC )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )
75, 6mpdan 649 . . 3  |-  ( G  e.  O ( 1 )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
87adantl 452 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )
9 reeanv 2720 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
10 reeanv 2720 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  <->  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
11 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
12 ssralv 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
14 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
15 ssralv 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. z  e. 
dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
1713, 16anim12i 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
18 r19.26 2688 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  <->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( b  <_ 
z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) ) )
1917, 18sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
20 prth 554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( (
a  <_  z  /\  b  <_  z )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) ) )
21 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  a  e.  RR )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
a  e.  RR )
23 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  b  e.  RR )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
b  e.  RR )
25 o1dm 12020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
2625ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  C_  RR )
2711, 26syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
2827sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
z  e.  RR )
29 maxle 10535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  <->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  <->  ( a  <_ 
z  /\  b  <_  z ) ) )
3130biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( a  <_  z  /\  b  <_ 
z ) ) )
321ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F : dom  F --> CC )
3311sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
34 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3532, 33, 34syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
36 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G  e.  O ( 1 ) )
3736, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G : dom  G --> CC )
3814sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
39 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
4037, 38, 39syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
41 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4241ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
4342ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
x R y ) )  <_  M )
)
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
4544breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  x
)  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
) )
4645anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )
) )
47 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
x R y )  =  ( ( F `
 z ) R y ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) ) )
4948breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
x R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R y ) )  <_  M
) )
5046, 49imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
x R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )
) )
51 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( G `  z )
) )
5251breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  y
)  <_  n  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  <->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
) R y )  =  ( ( F `
 z ) R ( G `  z
) ) )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z ) R y ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
5655breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M  <->  ( abs `  ( ( F `  z ) R ( G `  z ) ) )  <_  M
) )
5753, 56imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  y
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R y ) )  <_  M )  <->  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
) )
5850, 57rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( G `  z
)  e.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  x )  <_  m  /\  ( abs `  y )  <_  n )  ->  ( abs `  ( x R y ) )  <_  M ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
5935, 40, 43, 58syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
60 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
6132, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  F  Fn  dom  F )
62 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
6337, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  G  Fn  dom  G )
64 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
65 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
6626, 64, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  F  e. 
_V )
67 dmexg 4955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  O ( 1 )  ->  dom  G  e. 
_V )
6836, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  dom  G  e. 
_V )
69 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
70 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  F )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 z ) )
71 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e. 
dom  G )  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
7261, 63, 66, 68, 69, 70, 71ofval 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( F  o F R G ) `  z )  =  ( ( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( abs `  (
( F  o F R G ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) ) )
7473breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( abs `  (
( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M 
<->  ( abs `  (
( F `  z
) R ( G `
 z ) ) )  <_  M )
)
7559, 74sylibrd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )  ->  ( abs `  (
( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M ) )
7631, 75imim12d 68 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  /\  b  <_  z )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7720, 76syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M )
) )
7877ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z
) )  <_  M
) ) )
79 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x R y )  e.  CC )
8079adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x R y )  e.  CC )
8180, 32, 37, 66, 68, 69off 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( F  o F R G ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
82 ifcl 3614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
8323, 21, 82syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  if (
a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
84 o1of2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8584adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  M  e.  RR )
86 elo12r 12018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o F R G ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M ) )  -> 
( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) )
87863expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  o F R G ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )  /\  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z
) )  <_  M
)  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
8881, 27, 83, 85, 87syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( F  o F R G ) `  z ) )  <_  M )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
8978, 88syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  m
)  /\  ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  n
) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9019, 89syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O
( 1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  /\  ( m  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )  ->  ( ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9190rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G  e.  O (
1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9210, 91syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G  e.  O (
1 ) )  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  ->  ( ( E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F
( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G
( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  n )
)  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
9392rexlimdvva 2687 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  ( E. m  e.  RR  A. z  e. 
dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  m )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
949, 93syl5bir 209 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( ( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  dom  F ( a  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  m )  /\  E. b  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  dom  G ( b  <_  z  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  <_  n ) )  -> 
( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) ) )
954, 8, 94mp2and 660 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  e.  O ( 1 ) )  ->  ( F  o F R G )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752    <_ cle 8884   abscabs 11735   O (
1 )co1 11976
This theorem is referenced by:  o1add  12103  o1mul  12104  o1sub  12105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-o1 11980
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