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Theorem o1resb 12036
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 12030 . 2  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) )
2 rlimresb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
32feqmptd 5537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 4953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo )
) )
5 resmpt3 5000 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
64, 5syl6eq 2332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
76eleq1d 2350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8 inss1 3390 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
9 rlimresb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
118sseli 3177 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 5625 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
132, 11, 12syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1410, 13elo1mpt 12004 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
15 elin 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
1615imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
17 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
1816, 17bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 10515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3319, 32syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3433pm5.74da 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) ) )
3635ralbidv2 2566 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
372adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> CC )
38 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
40 ifcl 3602 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
42 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
43 elo12r 11998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  ->  F  e.  O
( 1 ) )
44433expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4537, 22, 41, 42, 44syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4636, 45sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4746rexlimdvva 2675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4814, 47sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
497, 48sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
501, 49impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ifcif 3566   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    |` cres 4690   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732    +oocpnf 8860    <_ cle 8864   [,)cico 10654   abscabs 11715   O (
1 )co1 11956
This theorem is referenced by:  chpo1ub  20625  dchrisum0lem2a  20662  pntrsumo1  20710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10658  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-o1 11960  df-lo1 11961
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