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Theorem o1resb 12042
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 12036 . 2  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) )
2 rlimresb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
32feqmptd 5577 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 4956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo )
) )
5 resmpt3 5003 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
64, 5syl6eq 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
76eleq1d 2351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8 inss1 3391 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
9 rlimresb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
118sseli 3178 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 5665 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
132, 11, 12syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1410, 13elo1mpt 12010 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
15 elin 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
1615imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
17 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
1816, 17bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 10741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 10521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3319, 32syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3433pm5.74da 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) ) )
3635ralbidv2 2567 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
372adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> CC )
38 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
40 ifcl 3603 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
42 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
43 elo12r 12004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  ->  F  e.  O
( 1 ) )
44433expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4537, 22, 41, 42, 44syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4636, 45sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4746rexlimdvva 2676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4814, 47sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
497, 48sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
501, 49impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    |` cres 4693   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738    +oocpnf 8866    <_ cle 8870   [,)cico 10660   abscabs 11721   O (
1 )co1 11962
This theorem is referenced by:  chpo1ub  20631  dchrisum0lem2a  20668  pntrsumo1  20716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966  df-lo1 11967
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