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Theorem o1resb 12348
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 12342 . 2  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) )
2 rlimresb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
32feqmptd 5770 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 5136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo )
) )
5 resmpt3 5183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
64, 5syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
76eleq1d 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8 inss1 3553 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
9 rlimresb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
118sseli 3336 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 5859 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
132, 11, 12syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1410, 13elo1mpt 12316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
15 elin 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
1615imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
17 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
1816, 17bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 10767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3319, 32syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3433pm5.74da 669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) ) )
3635ralbidv2 2719 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
372adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> CC )
38 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
40 ifcl 3767 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
42 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
43 elo12r 12310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  ->  F  e.  O
( 1 ) )
44433expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4537, 22, 41, 42, 44syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4636, 45sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4746rexlimdvva 2829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4814, 47sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
497, 48sylbid 207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
501, 49impbid2 196 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    |` cres 4871   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978    +oocpnf 9106    <_ cle 9110   [,)cico 10907   abscabs 12027   O (
1 )co1 12268
This theorem is referenced by:  chpo1ub  21162  dchrisum0lem2a  21199  pntrsumo1  21247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ico 10911  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-o1 12272  df-lo1 12273
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