MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Unicode version

Theorem o1resb 12247
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 12241 . 2  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) )
2 rlimresb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
32feqmptd 5682 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 5057 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo )
) )
5 resmpt3 5104 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
64, 5syl6eq 2414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
76eleq1d 2432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8 inss1 3477 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
9 rlimresb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
118sseli 3262 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
132, 11, 12syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1410, 13elo1mpt 12215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
15 elin 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
1615imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
17 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
1816, 17bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 10892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 10671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3319, 32syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3433pm5.74da 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) ) )
3635ralbidv2 2650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
372adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> CC )
38 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
40 ifcl 3690 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
42 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
43 elo12r 12209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  ->  F  e.  O
( 1 ) )
44433expia 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4537, 22, 41, 42, 44syl22anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4636, 45sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4746rexlimdvva 2759 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4814, 47sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
497, 48sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
501, 49impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    i^i cin 3237    C_ wss 3238   ifcif 3654   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179    |` cres 4794   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883    +oocpnf 9011    <_ cle 9015   [,)cico 10811   abscabs 11926   O (
1 )co1 12167
This theorem is referenced by:  chpo1ub  20852  dchrisum0lem2a  20889  pntrsumo1  20937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-ico 10815  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-o1 12171  df-lo1 12172
  Copyright terms: Public domain W3C validator