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Theorem o1rlimmul 12108
Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  ~~> r  0 )

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables  x  y  z  a  b  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 12019 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  F : dom  F --> CC )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5405 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  F  Fn  dom  F )
5 rlimf 11991 . . . . 5  |-  ( G  ~~> r  0  ->  G : dom  G --> CC )
65adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G : dom  G --> CC )
7 ffn 5405 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G  Fn  dom  G )
9 o1dm 12020 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  F  C_  RR )
11 reex 8844 . . . 4  |-  RR  e.  _V
12 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
1310, 11, 12sylancl 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  F  e.  _V )
14 rlimss 11992 . . . . 5  |-  ( G  ~~> r  0  ->  dom  G 
C_  RR )
1514adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  G  C_  RR )
16 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( dom  G  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  G  e.  _V )
1715, 11, 16sylancl 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  G  e.  _V )
18 eqid 2296 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
19 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
20 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
214, 8, 13, 17, 18, 19, 20offval 6101 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
22 o1bdd 12021 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
231, 22mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m ) )
2423ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
25 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
2625a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
2726ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  A. x  e.  dom  G ( G `
 x )  e. 
_V )
28 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
29 recn 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  m  e.  CC )
3029ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  m  e.  CC )
3130abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( abs `  m )  e.  RR )
3230absge0d 11942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  0  <_  ( abs `  m ) )
3331, 32ge0p1rpd 10432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR+ )
3428, 33rpdivcld 10423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  e.  RR+ )
356feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `
 x ) ) )
36 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G 
~~> r  0 )
3735, 36eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  ~~> r  0 )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `
 x ) )  ~~> r  0 )
3927, 34, 38rlimi 12003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  E. b  e.  RR  A. x  e. 
dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
40 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
41 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m ) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
43 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
44 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
4642, 45anim12i 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
47 r19.26 2688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
4846, 47sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
49 prth 554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
5049ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
5148, 50syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
52 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  a  e.  RR )
53 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  b  e.  RR )
5440, 10syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( dom  F  i^i  dom 
G )  C_  RR )
5554ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
56 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
5755, 56sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  RR )
58 maxle 10535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  <->  ( a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
5952, 53, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  <->  ( a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
6059biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  (
a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
616ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  G : dom  G --> CC )
6243sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
6362ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  dom  G )
64 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
6561, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
6665subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( G `
 x )  - 
0 )  =  ( G `  x ) )
6766fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  =  ( abs `  ( G `  x
) ) )
6867breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( G `  x )
)  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
6965abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  e.  RR )
7034adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7170rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR )
72 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7369, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7468, 73sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7574anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
762ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  F : dom  F --> CC )
7740sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
7877ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
79 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8076, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8180abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
8280absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) )
8381, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
84 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  e.  RR )
8565absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  x ) ) )
8669, 85jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  x
) ) ) )
87 lemul12a 9630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( ( abs `  ( G `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  x
) ) )  /\  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  x.  ( abs `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8883, 84, 86, 71, 87syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  x ) )  <_ 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  x.  ( abs `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8980, 65absmuld 11952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) ) )
9089breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
9184recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  e.  CC )
9228adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
9392rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  CC )
9433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR+ )
9594rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  CC )
9694rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  =/=  0 )
9791, 93, 95, 96divassd 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( m  x.  y )  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  =  ( m  x.  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
98 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  m )  e.  RR  ->  (
( abs `  m
)  +  1 )  e.  RR )
9931, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR )
10131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  m
)  e.  RR )
10284leabsd 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  <_  ( abs `  m ) )
103101ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  m
)  <  ( ( abs `  m )  +  1 ) )
10484, 101, 100, 102, 103lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  <  (
( abs `  m
)  +  1 ) )
10584, 100, 92, 104ltmul1dd 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  y )  <  (
( ( abs `  m
)  +  1 )  x.  y ) )
10692rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  RR )
10784, 106remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  y )  e.  RR )
108107, 106, 94ltdivmuld 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( m  x.  y )  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  <  y  <->  ( m  x.  y )  <  ( ( ( abs `  m )  +  1 )  x.  y ) ) )
109105, 108mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( m  x.  y )  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  <  y )
11097, 109eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  <  y
)
11180, 65mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
112111abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
11384, 71remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
114 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  /\  ( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
115112, 113, 106, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <_  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  /\  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
116110, 115mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
11790, 116sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
11875, 88, 1173syld 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
11960, 118imim12d 68 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
120119anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
121120ralimdva 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  /\  b  <_  x
)  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m  /\  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
122 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR )
123 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
124 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
125122, 123, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
126121, 125jctild 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  /\  b  <_  x
)  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m  /\  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
127 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( z  <_  x  <->  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x )
)
128127imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
129128ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y )  <->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <  y ) ) )
130129rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
13151, 126, 130syl56 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
132131exp3acom23 1362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
133132rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
13439, 133mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
135134rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
13624, 135mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
137136ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
1382, 77, 79syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1396, 62, 64syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( G `  x )  e.  CC )
140138, 139mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
141140ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
142141, 54rlim0 11998 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
143137, 142mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  ~~> r  0 )
14421, 143eqbrtrd 4059 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   O ( 1 )co1 11976
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  20639  chpchtlim  20644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rlim 11979  df-o1 11980
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