MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1sub2 Unicode version

Theorem o1sub2 12101
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
o1add2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
o1add2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1sub2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1sub2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5172 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 o1add2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
6 o1dm 12006 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
84, 7eqsstr3d 3215 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 reex 8830 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
109ssex 4160 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
118, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
12 o1add2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
13 eqidd 2286 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
14 eqidd 2286 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6097 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
16 o1add2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
17 o1sub 12091 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
185, 16, 17syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) )
1915, 18eqeltrrd 2360 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   _Vcvv 2790    C_ wss 3154    e. cmpt 4079   dom cdm 4691  (class class class)co 5860    o Fcof 6078   RRcr 8738    - cmin 9039   O (
1 )co1 11962
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  20687  selberg2lem  20701  pntrmax  20715  pntrsumo1  20716  selberg3r  20720  pntrlog2bndlem4  20731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966
  Copyright terms: Public domain W3C validator