MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1sub2 Unicode version

Theorem o1sub2 12095
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
o1add2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
o1add2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1sub2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1sub2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5168 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 o1add2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
6 o1dm 12000 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
84, 7eqsstr3d 3214 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 reex 8824 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
109ssex 4159 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
118, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
12 o1add2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
13 eqidd 2285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
14 eqidd 2285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6057 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
16 o1add2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
17 o1sub 12085 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
185, 16, 17syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) )
1915, 18eqeltrrd 2359 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153    e. cmpt 4078    dom cdm 4688  (class class class)co 5820    o Fcof 6038   RRcr 8732    - cmin 9033   O (
1 )co1 11956
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  20681  selberg2lem  20695  pntrmax  20709  pntrsumo1  20710  selberg3r  20714  pntrlog2bndlem4  20725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10658  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-o1 11960
  Copyright terms: Public domain W3C validator