MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa0 Unicode version

Theorem oa0 6723
Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oa0  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )

Proof of Theorem oa0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 4598 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 oav 6718 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  On )  -> 
( A  +o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  suc  x ) ,  A
) `  (/) ) )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  suc  x
) ,  A ) `
 (/) ) )
4 rdg0g 6648 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  suc  x ) ,  A ) `  (/) )  =  A )
53, 4eqtrd 2440 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920   (/)c0 3592    e. cmpt 4230   Oncon0 4545   suc csuc 4547   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   reccrdg 6630    +o coa 6684
This theorem is referenced by:  oa1suc  6738  oacl  6742  oa0r  6745  om0r  6746  oawordri  6756  oaord1  6757  oaword1  6758  oawordeulem  6760  oa00  6765  oaass  6767  oarec  6768  odi  6785  oeoalem  6802  nna0  6810  nna0r  6815  nnm0r  6816  nnawordi  6827  cantnflt  7587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-oadd 6691
  Copyright terms: Public domain W3C validator