MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa0 Unicode version

Theorem oa0 6515
Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oa0  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )

Proof of Theorem oa0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 4445 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 oav 6510 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  On )  -> 
( A  +o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  suc  x ) ,  A
) `  (/) ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  suc  x
) ,  A ) `
 (/) ) )
4 rdg0g 6440 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  suc  x ) ,  A ) `  (/) )  =  A )
53, 4eqtrd 2315 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   suc csuc 4394   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    +o coa 6476
This theorem is referenced by:  oa1suc  6530  oacl  6534  oa0r  6537  om0r  6538  oawordri  6548  oaord1  6549  oaword1  6550  oawordeulem  6552  oa00  6557  oaass  6559  oarec  6560  odi  6577  oeoalem  6594  nna0  6602  nna0r  6607  nnm0r  6608  nnawordi  6619  cantnflt  7373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483
  Copyright terms: Public domain W3C validator