Theorem oa1suc 4157

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266.

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	|- (A e. On -> (A +o 1o) = suc A)

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3018	. . . 4 |- (/) e. On
2		oasuc 4156	. . . 4 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A +o suc (/)) = suc (A +o (/)))
3	1, 2	mpan2 695	. . 3 |- (A e. On -> (A +o suc (/)) = suc (A +o (/)))
4		df-1o 4126	. . . 4 |- 1o = suc (/)
5	4	opreq2i 3967	. . 3 |- (A +o 1o) = (A +o suc (/))
6	3, 5	syl5eq 1517	. 2 |- (A e. On -> (A +o 1o) = suc (A +o (/)))
7		oa0 4148	. . 3 |- (A e. On -> (A +o (/)) = A)
8		suceq 3030	. . 3 |- ((A +o (/)) = A -> suc (A +o (/)) = suc A)
9	7, 8	syl 10	. 2 |- (A e. On -> suc (A +o (/)) = suc A)
10	6, 9	eqtrd 1505	1 |- (A e. On -> (A +o 1o) = suc A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  (/)c0 2277  Oncon0 2944  suc csuc 2946  (class class class)co 3958  1oc1o 4121   +o coa 4123

This theorem is referenced by:  o1p1e2 4168  om1r 4170  omlimcl 4202  oneo 4205  nneob 4248  oancom 4616  indpi 5017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1o 4126  df-oadd 4128

Copyright terms: Public domain