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Theorem oaass 6575
Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oaass
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  (/) ) )
2 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
32oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
6 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
9 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y ) )
10 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1110oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <-> 
( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1514oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
17 oacl 6550 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
18 oa0 6531 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  (
( A  +o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
20 oa0 6531 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2120oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B ) )
2221adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B
) )
2319, 22eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
24 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
25 oasuc 6539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
) )
2617, 25sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
27 oasuc 6539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
2827oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) ) )
2928adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) ) )
30 oacl 6550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
31 oasuc 6539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3230, 31sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3329, 32eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3433anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3526, 34eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  <->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
3624, 35syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
3736expcom 424 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
38 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
39 oalim 6547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4038, 39mpanr1 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4117, 40sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4241ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4342adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
44 oalimcl 6574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
4538, 44mpanr1 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
4645ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
47 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
48 oalim 6547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) )
4947, 48mpanr1 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
5046, 49sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
51 limelon 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5238, 51mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
53 oacl 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
5453ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
55 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
5655ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  -> 
z  e.  On ) )
5754, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  z  e.  On ) )
5857adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
5958adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
60 0ellim 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
61 onelss 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  B )
)
6220sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  C_  ( B  +o  (/) )  <->  z  C_  B ) )
6361, 62sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6463imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  B )  ->  z  C_  ( B  +o  (/) ) )
65 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  (/) ) )
6665sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z 
C_  ( B  +o  y )  <->  z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6766rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
6860, 64, 67syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Lim  x  /\  ( B  e.  On  /\  z  e.  B ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
6968expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
7069adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
7170adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
72 oawordex 6571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
7372ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
74 oaord 6561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
75743expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
76 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  (
( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7775, 76sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  y )  =  z )  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7877an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x ) ) )
7978biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  y  e.  x )
80 eqimss2 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  z  C_  ( B  +o  y ) )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8379, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8483anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) ) )  -> 
( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8584expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  ( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
8685reximdv2 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8786adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y
)  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8873, 87sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
90 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
91 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
92 ordtri2or 4504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  B )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9390, 91, 92syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9493ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  (
z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9671, 89, 95mpjaod 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
9796exp45 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
9897imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
9998adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z 
C_  ( B  +o  y ) ) ) )
10099imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
101 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  On )
102 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
103102, 30sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
104103exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
105104com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
106105imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
107106adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
108107adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
109 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )  ->  A  e.  On )
110109ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
111 oaword 6563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
112101, 108, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  (
z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
113112rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
)  <->  E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
114100, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
115114exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z ) 
C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11659, 115mpdd 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
117116exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
11852, 117mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
119118exp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
120119imp31 421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
121120ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
122 iunss2 3963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
123121, 122syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
124123ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
125 oaordi 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
126125anim1d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x
)  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
127 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
128127eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  (
w  e.  ( A  +o  z )  <->  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
129128rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) )
130126, 129syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
131130exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) ) )
132131rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
133 eliun 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  <->  E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
134 eliun 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z )  <->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) )
135132, 133, 1343imtr4g 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) ) )
136135ssrdv 3198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
13752, 136sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
138137adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
139124, 138eqssd 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
14050, 139eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
141140an12s 776 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
142141adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
143 iuneq2 3937 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
144143adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
145142, 144eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
14643, 145eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) )
147146exp31 587 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) ) ) )
1484, 8, 12, 16, 23, 37, 147tfinds3 4671 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
149148com12 27 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C
)  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
1501493impia 1148 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U_ciun 3921   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  odi  6593  oaabs  6658  oaabs2  6659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
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