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Theorem oalimcl 6526
Description: The ordinal sum with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.11 of [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 8-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oalimcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )

Proof of Theorem oalimcl
StepHypRef Expression
1 limelon 4427 . . 3  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 oacl 6502 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
3 eloni 4374 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  B
) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
51, 4sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  +o  B ) )
6 0ellim 4426 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
7 n0i 3435 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
98ad2antll 712 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  B  =  (/) )
10 oa00 6525 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) ) ) )
11 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
1210, 11syl6bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  =  (/)  ->  B  =  (/) ) )
1312con3d 127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
141, 13sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) ) )
159, 14mpd 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  (/) )
16 vex 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1716sucid 4443 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
suc  y
18 oalim 6499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
19 eqeq1 2264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) ) )
2018, 19syl5ib 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) ) )
2120imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  +o  x
) )
2217, 21syl5eleq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x ) )
23 eliun 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
2422, 23sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
) )
25 onelon 4389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
261, 25sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
27 onnbtwn 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
28 imnan 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
2927, 28sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3029com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3226, 31mpd 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3332ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
34 oacl 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  x
)  e.  On )
35 eloni 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
36 ordsucelsuc 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord  ( A  +o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  +o  x
) ) )
38 oasuc 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3938eleq2d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  +o  x ) ) )
4037, 39bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
4126, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ( A  +o  x )  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
42 eleq1 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4342bicomd 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  +o  suc  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
4441, 43sylan9bbr 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
451adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
46 sucelon 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
4726, 46sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  suc  x  e.  On )
4845, 47jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On ) )
49 oaord 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
50493expa 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  x  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5148, 50sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5251ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( B  e.  suc  x 
<->  ( A  +o  B
)  e.  ( A  +o  suc  x ) ) )
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( B  e. 
suc  x  <->  ( A  +o  B )  e.  ( A  +o  suc  x
) ) )
5444, 53bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  <->  B  e.  suc  x ) )
5554biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) ) )  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
5655exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  -> 
( A  e.  On  ->  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5756com4l 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  +o  x )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) ) )
5857imp32 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
5933, 58mtod 170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  +o  x
) ) )  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)
6059exp44 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  C  /\  Lim  B )  -> 
( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) ) )
6160imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) ) )
6261rexlimdv 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6362adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  +o  x
)  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
6424, 63mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +o  B
)  =  suc  y  /\  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6564expcom 426 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( ( A  +o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) )
6665pm2.01d 163 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6766adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  +o  B )  =  suc  y )
6867nrexdv 2621 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y )
69 ioran 478 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  +o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
7015, 68, 69sylanbrc 648 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  +o  B )  =  suc  y ) )
71 dflim3 4610 . 2  |-  ( Lim  ( A  +o  B
)  <->  ( Ord  ( A  +o  B )  /\  -.  ( ( A  +o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  +o  B
)  =  suc  y
) ) )
725, 70, 71sylanbrc 648 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Lim  ( A  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   (/)c0 3430   U_ciun 3879   Ord word 4363   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   suc csuc 4366  (class class class)co 5792    +o coa 6444
This theorem is referenced by:  oaass  6527  odi  6545  wunexALT  8331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451
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