MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oancom Unicode version

Theorem oancom 7566
Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oancom  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )

Proof of Theorem oancom
StepHypRef Expression
1 omex 7558 . . . 4  |-  om  e.  _V
21sucid 4624 . . 3  |-  om  e.  suc  om
3 omelon 7561 . . . 4  |-  om  e.  On
4 1onn 6845 . . . 4  |-  1o  e.  om
5 oaabslem 6849 . . . 4  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  om )  -> 
( 1o  +o  om )  =  om )
63, 4, 5mp2an 654 . . 3  |-  ( 1o 
+o  om )  =  om
7 oa1suc 6738 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  +o  1o )  =  suc  om )
83, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( om 
+o  1o )  =  suc  om
92, 6, 83eltr4i 2487 . 2  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  ( om  +o  1o )
10 1on 6694 . . . . 5  |-  1o  e.  On
11 oacl 6742 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( 1o  +o  om )  e.  On )
1210, 3, 11mp2an 654 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  On
13 oacl 6742 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  +o  1o )  e.  On )
143, 10, 13mp2an 654 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  e.  On
15 onelpss 4585 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  +o  om )  e.  On  /\  ( om  +o  1o )  e.  On )  ->  (
( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  <->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) ) ) )
1612, 14, 15mp2an 654 . . 3  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o ) 
<->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om  +o  1o ) ) )
1716simprbi 451 . 2  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  ->  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) )
189, 17ax-mp 8 1  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    C_ wss 3284   Oncon0 4545   suc csuc 4547   omcom 4808  (class class class)co 6044   1oc1o 6680    +o coa 6684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691
  Copyright terms: Public domain W3C validator