MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oancom Unicode version

Theorem oancom 7306
Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oancom  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )

Proof of Theorem oancom
StepHypRef Expression
1 omelon 7301 . . . 4  |-  om  e.  On
2 1onn 6591 . . . 4  |-  1o  e.  om
3 oaabslem 6595 . . . 4  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  om )  -> 
( 1o  +o  om )  =  om )
41, 2, 3mp2an 656 . . 3  |-  ( 1o 
+o  om )  =  om
5 omex 7298 . . . . 5  |-  om  e.  _V
65sucid 4429 . . . 4  |-  om  e.  suc  om
7 oa1suc 6484 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  +o  1o )  =  suc  om )
81, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  =  suc  om
96, 8eleqtrri 2329 . . 3  |-  om  e.  ( om  +o  1o )
104, 9eqeltri 2326 . 2  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  ( om  +o  1o )
11 1on 6440 . . . . 5  |-  1o  e.  On
12 oacl 6488 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( 1o  +o  om )  e.  On )
1311, 1, 12mp2an 656 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  On
14 oacl 6488 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  +o  1o )  e.  On )
151, 11, 14mp2an 656 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  e.  On
16 onelpss 4390 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  +o  om )  e.  On  /\  ( om  +o  1o )  e.  On )  ->  (
( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  <->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) ) ) )
1713, 15, 16mp2an 656 . . 3  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o ) 
<->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om  +o  1o ) ) )
1817simprbi 452 . 2  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  ->  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) )
1910, 18ax-mp 10 1  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    C_ wss 3113   Oncon0 4350   suc csuc 4352   omcom 4614  (class class class)co 5778   1oc1o 6426    +o coa 6430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437
  Copyright terms: Public domain W3C validator