MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oancom Unicode version

Theorem oancom 7285
Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oancom  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )

Proof of Theorem oancom
StepHypRef Expression
1 omelon 7280 . . . 4  |-  om  e.  On
2 1onn 6570 . . . 4  |-  1o  e.  om
3 oaabslem 6574 . . . 4  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  om )  -> 
( 1o  +o  om )  =  om )
41, 2, 3mp2an 656 . . 3  |-  ( 1o 
+o  om )  =  om
5 omex 7277 . . . . 5  |-  om  e.  _V
65sucid 4408 . . . 4  |-  om  e.  suc  om
7 oa1suc 6463 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  +o  1o )  =  suc  om )
81, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  =  suc  om
96, 8eleqtrri 2329 . . 3  |-  om  e.  ( om  +o  1o )
104, 9eqeltri 2326 . 2  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  ( om  +o  1o )
11 1on 6419 . . . . 5  |-  1o  e.  On
12 oacl 6467 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( 1o  +o  om )  e.  On )
1311, 1, 12mp2an 656 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  On
14 oacl 6467 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  +o  1o )  e.  On )
151, 11, 14mp2an 656 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  e.  On
16 onelpss 4369 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  +o  om )  e.  On  /\  ( om  +o  1o )  e.  On )  ->  (
( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  <->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) ) ) )
1713, 15, 16mp2an 656 . . 3  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o ) 
<->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om  +o  1o ) ) )
1817simprbi 452 . 2  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  ->  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) )
1910, 18ax-mp 10 1  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    C_ wss 3094   Oncon0 4329   suc csuc 4331   omcom 4593  (class class class)co 5757   1oc1o 6405    +o coa 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416
  Copyright terms: Public domain W3C validator