MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oancom Unicode version

Theorem oancom 7347
Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oancom  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )

Proof of Theorem oancom
StepHypRef Expression
1 omelon 7342 . . . 4  |-  om  e.  On
2 1onn 6632 . . . 4  |-  1o  e.  om
3 oaabslem 6636 . . . 4  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  om )  -> 
( 1o  +o  om )  =  om )
41, 2, 3mp2an 655 . . 3  |-  ( 1o 
+o  om )  =  om
5 omex 7339 . . . . 5  |-  om  e.  _V
65sucid 4470 . . . 4  |-  om  e.  suc  om
7 oa1suc 6525 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  +o  1o )  =  suc  om )
81, 7ax-mp 10 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  =  suc  om
96, 8eleqtrri 2357 . . 3  |-  om  e.  ( om  +o  1o )
104, 9eqeltri 2354 . 2  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  ( om  +o  1o )
11 1on 6481 . . . . 5  |-  1o  e.  On
12 oacl 6529 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  om  e.  On )  -> 
( 1o  +o  om )  e.  On )
1311, 1, 12mp2an 655 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  om )  e.  On
14 oacl 6529 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( om  +o  1o )  e.  On )
151, 11, 14mp2an 655 . . . 4  |-  ( om 
+o  1o )  e.  On
16 onelpss 4431 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  +o  om )  e.  On  /\  ( om  +o  1o )  e.  On )  ->  (
( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  <->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) ) ) )
1713, 15, 16mp2an 655 . . 3  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o ) 
<->  ( ( 1o  +o  om )  C_  ( om  +o  1o )  /\  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om  +o  1o ) ) )
1817simprbi 452 . 2  |-  ( ( 1o  +o  om )  e.  ( om  +o  1o )  ->  ( 1o  +o  om )  =/=  ( om 
+o  1o ) )
1910, 18ax-mp 10 1  |-  ( 1o 
+o  om )  =/=  ( om  +o  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447    C_ wss 3153   Oncon0 4391   suc csuc 4393   omcom 4655  (class class class)co 5819   1oc1o 6467    +o coa 6471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478
  Copyright terms: Public domain W3C validator