Theorem oancom 4613

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
oancom	|- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4609	. . . 4 |- om e. On
2		1onn 4243	. . . 4 |- 1o e. om
3		oaabslem 4241	. . . 4 |- ((om e. On /\ 1o e. om) -> (1o +o om) = om)
4	1, 2, 3	mp2an 696	. . 3 |- (1o +o om) = om
5		omex 4607	. . . . 5 |- om e. V
6	5	sucid 3046	. . . 4 |- om e. suc om
7		oa1suc 4154	. . . . 5 |- (om e. On -> (om +o 1o) = suc om)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (om +o 1o) = suc om
9	6, 8	eleqtrr 1544	. . 3 |- om e. (om +o 1o)
10	4, 9	eqeltr 1541	. 2 |- (1o +o om) e. (om +o 1o)
11		1on 4128	. . . . 5 |- 1o e. On
12		oacl 4160	. . . . 5 |- ((1o e. On /\ om e. On) -> (1o +o om) e. On)
13	11, 1, 12	mp2an 696	. . . 4 |- (1o +o om) e. On
14		oacl 4160	. . . . 5 |- ((om e. On /\ 1o e. On) -> (om +o 1o) e. On)
15	1, 11, 14	mp2an 696	. . . 4 |- (om +o 1o) e. On
16		onelpsst 2993	. . . 4 |- (((1o +o om) e. On /\ (om +o 1o) e. On) -> ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o))))
17	13, 15, 16	mp2an 696	. . 3 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o)))
18	17	pm3.27bi 326	. 2 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) -> (1o +o om) =/= (om +o 1o))
19	10, 18	ax-mp 7	1 |- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   (_ wss 2043  Oncon0 2943  suc csuc 2945  omcom 3126  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   +o coa 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oadd 4125

Copyright terms: Public domain