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Theorem oaordi 6780
Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaordi  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem oaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4598 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21adantll 695 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  On )
3 eloni 4583 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
4 ordsucss 4789 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
65ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
7 sucelon 4788 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
8 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
98sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
109imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) ) )
11 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1211sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1312imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
14 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1514sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1615imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) ) )
17 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1817sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
1918imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
20 ssid 3359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2120a1ii 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
22 sssucid 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
23 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2422, 23mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
25 oasuc 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2625ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2824, 27syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
2928ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130a2d 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
32 sucssel 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  x  ->  A  e.  x ) )
337, 32sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  x  ->  A  e.  x ) )
34 limsuc 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
3534biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  ->  suc  A  e.  x ) )
3633, 35sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  -> 
( suc  A  C_  x  ->  suc  A  e.  x
) )
3736imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  suc  A  e.  x )
38 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  +o  y
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
3938ssiun2s 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
42 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
43 oalim 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( C  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4442, 43mpanr1 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4544ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4645adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4841, 47sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  x ) )
4948ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  x ) ) )
5049a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) ) )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) ) ) )
5110, 13, 16, 19, 21, 31, 50tfindsg 4831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
5251exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( suc  A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
537, 52syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
5453com4r 82 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
5554imp31 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
56 oasuc 6759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
5756sseq1d 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
58 ovex 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
59 sucssel 4665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
6157, 60syl6bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
6261adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
636, 55, 623syld 53 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
6463imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
6564an32s 780 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
662, 65mpdan 650 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
6766ex 424 . 2  |-  ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
6867ancoms 440 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U_ciun 4085   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575  (class class class)co 6072    +o coa 6712
This theorem is referenced by:  oaord  6781  oaass  6795  odi  6813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-oadd 6719
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