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Theorem oarec 6556
Description: Recursive definition of ordinal addition. Exercise 25 of [Enderton] p. 240. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oarec  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem oarec
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 mpteq1 4101 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( A  +o  x ) ) )
3 mpt0 5337 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/)
42, 3syl6eq 2332 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/) )
54rneqd 4905 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (/) )
6 rn0 4935 . . . . . 6  |-  ran  (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2332 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/) )
87uneq2d 3330 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  (/) ) )
91, 8eqeq12d 2298 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <-> 
( A  +o  (/) )  =  ( A  u.  (/) ) ) )
10 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  w
) )
11 mpteq1 4101 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
1211rneqd 4905 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) )  =  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
1312uneq2d 3330 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
1410, 13eqeq12d 2298 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
15 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  +o  suc  w ) )
16 mpteq1 4101 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) )  =  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
1716rneqd 4905 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  w  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (  x  e. 
suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
1817uneq2d 3330 . . . 4  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2298 . . 3  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
20 oveq2 5828 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  B
) )
21 mpteq1 4101 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
2221rneqd 4905 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) )  =  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
2322uneq2d 3330 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
2420, 23eqeq12d 2298 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
25 oa0 6511 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
26 un0 3480 . . . 4  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2725, 26syl6eqr 2334 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  ( A  u.  (/) ) )
28 uneq1 3323 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  { ( A  +o  w ) } ) )
29 unass 3333 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } ) )
30 rexun 3356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ( w  u.  { w }
) y  =  ( A  +o  x )  <-> 
( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  \/  E. x  e. 
{ w } y  =  ( A  +o  x ) ) )
31 df-suc 4397 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  w  =  ( w  u. 
{ w } )
3231rexeqi 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  suc  w
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  ( w  u.  {
w } ) y  =  ( A  +o  x ) )
33 vex 2792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
34 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )
3534elrnmpt 4925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x ) ) )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x ) )
37 elsn 3656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { ( A  +o  w ) }  <-> 
y  =  ( A  +o  w ) )
38 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
39 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  w
) )
4039eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
y  =  ( A  +o  x )  <->  y  =  ( A  +o  w
) ) )
4138, 40rexsn 3676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  { w } y  =  ( A  +o  x )  <-> 
y  =  ( A  +o  w ) )
4237, 41bitr4i 243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { ( A  +o  w ) }  <->  E. x  e.  { w } y  =  ( A  +o  x ) )
4336, 42orbi12i 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e. 
{ ( A  +o  w ) } )  <-> 
( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  \/  E. x  e. 
{ w } y  =  ( A  +o  x ) ) )
4430, 32, 433bitr4i 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  suc  w
y  =  ( A  +o  x )  <->  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e.  { ( A  +o  w ) } ) )
45 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )
46 ovex 5845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +o  x )  e. 
_V
4745, 46elrnmpti 4929 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  suc  w y  =  ( A  +o  x ) )
48 elun 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u.  { ( A  +o  w ) } )  <->  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e.  { ( A  +o  w ) } ) )
4944, 47, 483bitr4i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  y  e.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } ) )
5049eqriv 2281 . . . . . . . 8  |-  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) )  u.  {
( A  +o  w
) } )
5150uneq2i 3327 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) )  u.  {
( A  +o  w
) } ) )
5229, 51eqtr4i 2307 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
5328, 52syl6eq 2332 . . . . 5  |-  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
54 oasuc 6519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  suc  ( A  +o  w
) )
55 df-suc 4397 . . . . . . 7  |-  suc  ( A  +o  w )  =  ( ( A  +o  w )  u.  {
( A  +o  w
) } )
5654, 55syl6eq 2332 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( ( A  +o  w
)  u.  { ( A  +o  w ) } ) )
5756eqeq1d 2292 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
5853, 57syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
5958expcom 424 . . 3  |-  ( w  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) ) )
60 vex 2792 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
61 oalim 6527 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( z  e.  _V  /\ 
Lim  z ) )  ->  ( A  +o  z )  =  U_ w  e.  z  ( A  +o  w ) )
6260, 61mpanr1 664 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  z )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
6362ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
6463adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
65 iuneq2 3922 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  z  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  ->  U_ w  e.  z 
( A  +o  w
)  =  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
6665adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  U_ w  e.  z  ( A  +o  w )  =  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
67 iunun 3983 . . . . . . 7  |-  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( U_ w  e.  z  A  u.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
68 0ellim 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
69 ne0i 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  z  ->  z  =/=  (/) )
70 iunconst 3914 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  U_ w  e.  z  A  =  A )
7168, 69, 703syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  A  =  A )
72 limuni 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  z  =  U. z )
7372rexeqdv 2744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( E. x  e.  z  y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  U. z y  =  ( A  +o  x
) ) )
74 df-rex 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
7536, 74bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) )
7675rexbii 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) )
77 eluni2 3832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. w  e.  z  x  e.  w )
7877anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <-> 
( E. w  e.  z  x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
79 r19.41v 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w  e.  z  ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  ( E. w  e.  z  x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8078, 79bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8180exbii 1569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x ( x  e. 
U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  E. x E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
82 df-rex 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x
( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
83 rexcom4 2808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  z  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) )  <->  E. x E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8481, 82, 833bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. w  e.  z  E. x
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8576, 84bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x ) )
8673, 85syl6rbbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  z  y  =  ( A  +o  x
) ) )
87 eliun 3910 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z 
y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
88 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )
8988, 46elrnmpti 4929 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  z 
y  =  ( A  +o  x ) )
9086, 87, 893bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  y  e.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9190eqrdv 2282 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )
9271, 91uneq12d 3331 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  ( U_ w  e.  z  A  u.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9367, 92syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9493ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9564, 66, 943eqtrd 2320 . . . 4  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) ) )
9695exp31 587 . . 3  |-  ( Lim  z  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. w  e.  z  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) ) )
979, 14, 19, 24, 27, 59, 96tfinds3 4654 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
9897impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    u. cun 3151   (/)c0 3456   {csn 3641   U.cuni 3828   U_ciun 3906    e. cmpt 4078   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393   ran crn 4689  (class class class)co 5820    +o coa 6472
This theorem is referenced by:  oacomf1o  6559  onacda  7819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-oadd 6479
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