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Theorem oarec 6528
Description: Recursive definition of ordinal addition. Exercise 25 of [Enderton] p. 240. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oarec  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem oarec
StepHypRef Expression
1 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 mpteq1 4074 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( A  +o  x ) ) )
3 mpt0 5309 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/)
42, 3syl6eq 2306 . . . . . . 7  |-  ( z  =  (/)  ->  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/) )
54rneqd 4894 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (/) )
6 rn0 4924 . . . . . 6  |-  ran  (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2306 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  (/) )
87uneq2d 3304 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  (/) ) )
91, 8eqeq12d 2272 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <-> 
( A  +o  (/) )  =  ( A  u.  (/) ) ) )
10 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  w
) )
11 mpteq1 4074 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
1211rneqd 4894 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) )  =  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
1312uneq2d 3304 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
1410, 13eqeq12d 2272 . . 3  |-  ( z  =  w  ->  (
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
15 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  +o  suc  w ) )
16 mpteq1 4074 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( x  e.  z 
|->  ( A  +o  x
) )  =  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
1716rneqd 4894 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  w  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (  x  e. 
suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
1817uneq2d 3304 . . . 4  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
1915, 18eqeq12d 2272 . . 3  |-  ( z  =  suc  w  -> 
( ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
20 oveq2 5800 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  B
) )
21 mpteq1 4074 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
2221rneqd 4894 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) )  =  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
2322uneq2d 3304 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
2420, 23eqeq12d 2272 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
25 oa0 6483 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
26 un0 3454 . . . 4  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2725, 26syl6eqr 2308 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  ( A  u.  (/) ) )
28 uneq1 3297 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  { ( A  +o  w ) } ) )
29 unass 3307 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } ) )
30 rexun 3330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ( w  u.  { w }
) y  =  ( A  +o  x )  <-> 
( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  \/  E. x  e. 
{ w } y  =  ( A  +o  x ) ) )
31 df-suc 4370 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  w  =  ( w  u. 
{ w } )
3231rexeqi 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  suc  w
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  ( w  u.  {
w } ) y  =  ( A  +o  x ) )
33 vex 2766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
34 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )
3534elrnmpt 4914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x ) ) )
3633, 35ax-mp 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x ) )
37 elsn 3629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { ( A  +o  w ) }  <-> 
y  =  ( A  +o  w ) )
38 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
39 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  w
) )
4039eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
y  =  ( A  +o  x )  <->  y  =  ( A  +o  w
) ) )
4138, 40rexsn 3649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  { w } y  =  ( A  +o  x )  <-> 
y  =  ( A  +o  w ) )
4237, 41bitr4i 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { ( A  +o  w ) }  <->  E. x  e.  { w } y  =  ( A  +o  x ) )
4336, 42orbi12i 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e. 
{ ( A  +o  w ) } )  <-> 
( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  \/  E. x  e. 
{ w } y  =  ( A  +o  x ) ) )
4430, 32, 433bitr4i 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  suc  w
y  =  ( A  +o  x )  <->  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e.  { ( A  +o  w ) } ) )
45 eqid 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )
46 ovex 5817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  +o  x )  e. 
_V
4745, 46elrnmpti 4918 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  suc  w y  =  ( A  +o  x ) )
48 elun 3291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u.  { ( A  +o  w ) } )  <->  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  \/  y  e.  { ( A  +o  w ) } ) )
4944, 47, 483bitr4i 270 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  y  e.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  u. 
{ ( A  +o  w ) } ) )
5049eqriv 2255 . . . . . . . 8  |-  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) )  u.  {
( A  +o  w
) } )
5150uneq2i 3301 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ( ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) )  u.  {
( A  +o  w
) } ) )
5229, 51eqtr4i 2281 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  u.  {
( A  +o  w
) } )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
5328, 52syl6eq 2306 . . . . 5  |-  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
54 oasuc 6491 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  suc  ( A  +o  w
) )
55 df-suc 4370 . . . . . . 7  |-  suc  ( A  +o  w )  =  ( ( A  +o  w )  u.  {
( A  +o  w
) } )
5654, 55syl6eq 2306 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( ( A  +o  w
)  u.  { ( A  +o  w ) } ) )
5756eqeq1d 2266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  +o  w )  u. 
{ ( A  +o  w ) } )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
5853, 57syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
5958expcom 426 . . 3  |-  ( w  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  suc  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  suc  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) ) )
60 vex 2766 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
61 oalim 6499 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( z  e.  _V  /\ 
Lim  z ) )  ->  ( A  +o  z )  =  U_ w  e.  z  ( A  +o  w ) )
6260, 61mpanr1 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  z )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
6362ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
6463adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  ( A  +o  z )  = 
U_ w  e.  z  ( A  +o  w
) )
65 iuneq2 3895 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  z  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  ->  U_ w  e.  z 
( A  +o  w
)  =  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
6665adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  U_ w  e.  z  ( A  +o  w )  =  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
67 iunun 3956 . . . . . . 7  |-  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( U_ w  e.  z  A  u.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )
68 0ellim 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
69 ne0i 3436 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  z  ->  z  =/=  (/) )
70 iunconst 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  U_ w  e.  z  A  =  A )
7168, 69, 703syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  A  =  A )
72 limuni 4424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  z  =  U. z )
7372rexeqdv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( E. x  e.  z  y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x  e.  U. z y  =  ( A  +o  x
) ) )
74 df-rex 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  w  y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
7536, 74bitri 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) )
7675rexbii 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) ) )
77 eluni2 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. w  e.  z  x  e.  w )
7877anbi1i 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <-> 
( E. w  e.  z  x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
79 r19.41v 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w  e.  z  ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  ( E. w  e.  z  x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8078, 79bitr4i 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8180exbii 1580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x ( x  e. 
U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) )  <->  E. x E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
82 df-rex 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. x
( x  e.  U. z  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
83 rexcom4 2782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  z  E. x ( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x
) )  <->  E. x E. w  e.  z 
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8481, 82, 833bitr4i 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x )  <->  E. w  e.  z  E. x
( x  e.  w  /\  y  =  ( A  +o  x ) ) )
8576, 84bitr4i 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  U. z
y  =  ( A  +o  x ) )
8673, 85syl6rbbr 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( E. w  e.  z  y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  z  y  =  ( A  +o  x
) ) )
87 eliun 3883 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. w  e.  z 
y  e.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )
88 eqid 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )
8988, 46elrnmpti 4918 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) )  <->  E. x  e.  z 
y  =  ( A  +o  x ) )
9086, 87, 893bitr4g 281 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  <->  y  e.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9190eqrdv 2256 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) )  =  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) )
9271, 91uneq12d 3305 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  ( U_ w  e.  z  A  u.  U_ w  e.  z  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9367, 92syl5eq 2302 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9493ad2antrr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  U_ w  e.  z  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
9564, 66, 943eqtrd 2294 . . . 4  |-  ( ( ( Lim  z  /\  A  e.  On )  /\  A. w  e.  z  ( A  +o  w
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x ) ) ) )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x
) ) ) )
9695exp31 590 . . 3  |-  ( Lim  z  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. w  e.  z  ( A  +o  w )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  w  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  z  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) ) )
979, 14, 19, 24, 27, 59, 96tfinds3 4627 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) ) )
9897impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  (  x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    u. cun 3125   (/)c0 3430   {csn 3614   U.cuni 3801   U_ciun 3879    e. cmpt 4051   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   suc csuc 4366   ran crn 4662  (class class class)co 5792    +o coa 6444
This theorem is referenced by:  oacomf1o  6531  onacda  7791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-oadd 6451
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