Theorem oasuc 4147

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56.

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Proof of Theorem oasuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3930	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
2	1	adantl 388	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
3		oav 4134	. . 3 |- ((A e. On /\ suc B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
4		suceloni 3052	. . 3 |- (B e. On -> suc B e. On)
5	3, 4	sylan2 451	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
6		oav 4134	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
7	6	fveq2d 3713	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
8		oprex 3968	. . . 4 |- (A +o B) e. V
9	8	sucex 3040	. . . 4 |- suc (A +o B) e. V
10		suceq 3024	. . . 4 |- (x = (A +o B) -> suc x = suc (A +o B))
11	8, 9, 10	fvopab 3775	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = suc (A +o B)
12	7, 11	syl5eqr 1513	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> suc (A +o B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
13	2, 5, 12	3eqtr4d 1509	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {copab 2656  Oncon0 2938  suc csuc 2940  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948   +o coa 4114

This theorem is referenced by:  oa1suc 4148  oacl 4154  oa0r 4157  oaordi 4164  oawordri 4168  oawordeulem 4172  oalimcl 4178  oaass 4179  oarec 4180  odi 4194  nnasuc 4209  nnacom 4217  oaabs 4236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119

Copyright terms: Public domain