Theorem oasuc 4299

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56.

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Proof of Theorem oasuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuc 4246	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
2	1	adantl 388	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
3		oav 4286	. . 3 |- ((A e. On /\ suc B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
4		suceloni 3170	. . 3 |- (B e. On -> suc B e. On)
5	3, 4	sylan2 453	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
6		oav 4286	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
7	6	fveq2d 3839	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
8		oprex 4041	. . . 4 |- (A +o B) e. V
9	8	sucex 3168	. . . 4 |- suc (A +o B) e. V
10		suceq 3038	. . . 4 |- (x = (A +o B) -> suc x = suc (A +o B))
11	8, 9, 10	fvopab 3901	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = suc (A +o B)
12	7, 11	syl5eqr 1564	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> suc (A +o B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
13	2, 5, 12	3eqtr4d 1560	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  {copab 2740  Oncon0 2975  suc csuc 2977  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  reccrdg 4232   +o coa 4266

This theorem is referenced by:  oa1suc 4300  oacl 4306  oa0r 4309  oaordi 4316  oawordri 4320  oawordeulem 4324  oalimcl 4330  oaass 4331  oarec 4332  odi 4346  oeoalem 4359  nnasuc 4365  nnacom 4373  oaabs 4392

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-oadd 4271

Copyright terms: Public domain