Theorem oav 4286

Description: Value of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem oav

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3843	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B) e. V
2		rdgeq2 4236	. . 3 |- (w = A -> rec({<.x, y>. | y = suc x}, w) = rec({<.x, y>. | y = suc x}, A))
3	2	fveq1d 3837	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v))
4		fveq2 3835	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
5		df-oadd 4271	. 2 |- +o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v))}
6	1, 3, 4, 5	oprabval2 4088	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  {copab 2740  Oncon0 2975  suc csuc 2977  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  reccrdg 4232   +o coa 4266

This theorem is referenced by:  oa0 4291  oasuc 4299  oalim 4303

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-oadd 4271

Copyright terms: Public domain