Theorem oav 4156

Description: Value of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem oav

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3738	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B) e. V
2		rdgeq2 3941	. . 3 |- (w = A -> rec({<.x, y>. | y = suc x}, w) = rec({<.x, y>. | y = suc x}, A))
3	2	fveq1d 3732	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v))
4		fveq2 3730	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
5		df-oadd 4141	. 2 |- +o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v))}
6	1, 3, 4, 5	oprabval2 4034	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {copab 2671  Oncon0 2954  suc csuc 2956  ` cfv 3188  reccrdg 3937  (class class class)co 3969   +o coa 4136

This theorem is referenced by:  oa0 4161  oasuc 4169  oalim 4173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141

Copyright terms: Public domain