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Theorem oawordri 6543
Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oawordri
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
4 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
5 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
64, 5sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
7 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
8 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
10 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
11 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1210, 11sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
13 oa0 6510 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1413adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
15 oa0 6510 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1615adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1714, 16sseq12d 3208 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
1817biimpar 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) )
19 oacl 6529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  y
)  e.  On )
20 eloni 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
22 oacl 6529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
23 eloni 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
25 ordsucsssuc 4613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2621, 24, 25syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2726anandirs 807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
28 oasuc 6518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
2928adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
30 oasuc 6518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3130adantll 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3229, 31sseq12d 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
3327, 32bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) )
3433biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
3534expcom 426 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
3635adantrd 456 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
37 vex 2792 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
38 ss2iun 3921 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
39 oalim 6526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
4039adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
41 oalim 6526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4241adantll 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4340, 42sseq12d 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
4438, 43syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )
4537, 44mpanr1 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  -> 
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )
4645expcom 426 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) ) )
4746adantrd 456 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) ) )
483, 6, 9, 12, 18, 36, 47tfinds3 4654 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
4948exp4c 594 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
5049com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
51503imp 1150 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U_ciun 3906   Ord word 4390   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393  (class class class)co 5819    +o coa 6471
This theorem is referenced by:  oaword2  6546  omwordri  6565  oaabs2  6638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-oadd 6478
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