HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Unicode version

Theorem occl 21875
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem occl
StepHypRef Expression
1 ocsh 21854 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2 ax-hcompl 21773 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
3 vex 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
4 vex 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
53, 4breldm 4882 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
65rexlimivw 2664 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  f  e.  dom  ~~>v  )
87ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  e.  dom  ~~>v  )
9 hlimf 21809 . . . . . . . 8  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
109ffvelrni 5625 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H )
118, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ~H )
12 simplll 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  A  C_ 
~H )
13 simpllr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f  e.  Cauchy )
14 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : NN --> ( _|_ `  A
) )
15 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
1612, 13, 14, 15occllem 21874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
(  ~~>v  `  f )  .ih  x )  =  0 )
1716ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 )
18 ocel 21852 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( 
~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( (  ~~>v  `  f )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 ) ) )
1918ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
( (  ~~>v  `  f
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H  /\  A. x  e.  A  ( (  ~~>v 
`  f )  .ih  x )  =  0 ) ) )
2011, 17, 19mpbir2and 890 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
) )
21 ffun 5356 . . . . . . 7  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  Fun  ~~>v  )
22 funfvbrb 5599 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f )
) )
239, 21, 22mp2b 11 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )
248, 23sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  ~~>v  (  ~~>v  `  f
) )
25 breq2 4028 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  ~~>v  `  f
)  ->  ( f  ~~>v  x  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f ) ) )
2625rspcev 2885 . . . . 5  |-  ( ( (  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f  ~~>v  x )
2720, 24, 26syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f 
~~>v  x )
2827ex 425 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  ->  (
f : NN --> ( _|_ `  A )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
2928ralrimiva 2627 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
30 isch3 21813 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  CH  <->  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  /\  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) ) )
311, 29, 30sylanbrc 647 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   dom cdm 4688   Fun wfun 5215   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   0cc0 8732   NNcn 9741   ~Hchil 21491    .ih csp 21494   Cauchyccau 21498    ~~>v chli 21499   SHcsh 21500   CHcch 21501   _|_cort 21502
This theorem is referenced by:  shoccl  21876  hsupcl  21910  sshjcl  21926  dfch2  21978  ococin  21979  shjshsi  22063  sshhococi  22117  h1dei  22121  h1de2bi  22125  h1de2ctlem  22126  h1de2ci  22127  spansnch  22131  spansnpji  22149  h1da  22921  atom1d  22925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cau 18676  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-hnorm 21540  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545  df-sh 21778  df-ch 21793  df-oc 21823
  Copyright terms: Public domain W3C validator