HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Unicode version

Theorem occl 21843
Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )

Proof of Theorem occl
StepHypRef Expression
1 ocsh 21822 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
2 ax-hcompl 21741 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
3 vex 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
4 vex 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
53, 4breldm 4871 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
65rexlimivw 2638 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom 
~~>v  )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  f  e.  dom  ~~>v  )
87ad2antlr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  e.  dom  ~~>v  )
9 hlimf 21777 . . . . . . . 8  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
109ffvelrni 5598 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H )
118, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ~H )
12 simplll 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  A  C_ 
~H )
13 simpllr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f  e.  Cauchy )
14 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  f : NN --> ( _|_ `  A
) )
15 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
1612, 13, 14, 15occllem 21842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
(  ~~>v  `  f )  .ih  x )  =  0 )
1716ralrimiva 2601 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 )
18 ocel 21820 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( 
~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( (  ~~>v  `  f )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  A  ( (  ~~>v  `  f
)  .ih  x )  =  0 ) ) )
1918ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
( (  ~~>v  `  f
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( (  ~~>v 
`  f )  e. 
~H  /\  A. x  e.  A  ( (  ~~>v 
`  f )  .ih  x )  =  0 ) ) )
2011, 17, 19mpbir2and 893 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
(  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
) )
21 ffun 5329 . . . . . . 7  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  Fun  ~~>v  )
22 funfvbrb 5572 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f )
) )
239, 21, 22mp2b 11 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  ~~>v  <->  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )
248, 23sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  -> 
f  ~~>v  (  ~~>v  `  f
) )
25 breq2 4001 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  ~~>v  `  f
)  ->  ( f  ~~>v  x  <->  f  ~~>v  (  ~~>v  `  f ) ) )
2625rcla4ev 2859 . . . . 5  |-  ( ( (  ~~>v  `  f )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  f  ~~>v  ( 
~~>v  `  f ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f  ~~>v  x )
2720, 24, 26syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  /\  f : NN --> ( _|_ `  A ) )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) f 
~~>v  x )
2827ex 425 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  f  e.  Cauchy )  ->  (
f : NN --> ( _|_ `  A )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
2928ralrimiva 2601 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) )
30 isch3 21781 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  CH  <->  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  /\  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> ( _|_ `  A
)  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) f  ~~>v  x ) ) )
311, 29, 30sylanbrc 648 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   dom cdm 4661   Fun wfun 4667   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   NNcn 9714   ~Hchil 21459    .ih csp 21462   Cauchyccau 21466    ~~>v chli 21467   SHcsh 21468   CHcch 21469   _|_cort 21470
This theorem is referenced by:  shoccl  21844  hsupcl  21878  sshjcl  21894  dfch2  21946  ococin  21947  shjshsi  22031  sshhococi  22085  h1dei  22089  h1de2bi  22093  h1de2ctlem  22094  h1de2ci  22095  spansnch  22099  spansnpji  22117  h1da  22889  atom1d  22893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785  ax-hilex 21539  ax-hfvadd 21540  ax-hvcom 21541  ax-hvass 21542  ax-hv0cl 21543  ax-hvaddid 21544  ax-hfvmul 21545  ax-hvmulid 21546  ax-hvmulass 21547  ax-hvdistr1 21548  ax-hvdistr2 21549  ax-hvmul0 21550  ax-hfi 21618  ax-his1 21621  ax-his2 21622  ax-his3 21623  ax-his4 21624  ax-hcompl 21741
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-sum 12124  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-lm 16921  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cau 18644  df-grpo 20818  df-gid 20819  df-ginv 20820  df-gdiv 20821  df-ablo 20909  df-vc 21062  df-nv 21108  df-va 21111  df-ba 21112  df-sm 21113  df-0v 21114  df-vs 21115  df-nmcv 21116  df-ims 21117  df-dip 21234  df-hnorm 21508  df-hvsub 21511  df-hlim 21512  df-hcau 21513  df-sh 21746  df-ch 21761  df-oc 21791
  Copyright terms: Public domain W3C validator