Theorem occl 9120

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypothesis

Ref	Expression
occl.1	|- A (_ H~

Assertion

Ref	Expression
occl	|- (_|_` A) e. CH

Proof of Theorem occl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 9032	. 2 |- ((_|_` A) e. CH <-> ((_|_` A) e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->(_|_` A) /\ f ~~>v x) -> x e. (_|_` A))))
2		occl.1	. . 3 |- A (_ H~
3		ocsh 9095	. . 3 |- (A (_ H~ -> (_|_` A) e. SH)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- (_|_` A) e. SH
5		visset 1809	. . . . . . 7 |- f e. V
6		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
7	5, 6	hlimvec 8997	. . . . . 6 |- (f ~~>v x -> x e. H~)
8	7	adantl 388	. . . . 5 |- ((f:NN-->(_|_` A) /\ f ~~>v x) -> x e. H~)
9	5	occllem8 9119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((f ~~>v x /\ A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0) -> (x .ih y) = 0))
10	9	exp4b 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. H~ -> (y e. H~ -> (f ~~>v x -> (A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 -> (x .ih y) = 0))))
11	2	sseli 2061	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. A -> y e. H~)
12	10, 11	syl5 21	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. H~ -> (y e. A -> (f ~~>v x -> (A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 -> (x .ih y) = 0))))
13	12	com23 32	. . . . . . . . . 10 |- (x e. H~ -> (f ~~>v x -> (y e. A -> (A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 -> (x .ih y) = 0))))
14	7, 13	mpcom 49	. . . . . . . . 9 |- (f ~~>v x -> (y e. A -> (A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 -> (x .ih y) = 0)))
15	14	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((f ~~>v x /\ y e. A) -> (A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 -> (x .ih y) = 0))
16	15	r19.20dva 1706	. . . . . . 7 |- (f ~~>v x -> (A.y e. A A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 -> A.y e. A (x .ih y) = 0))
17		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->(_|_` A) /\ z e. NN) -> (f` z) e. (_|_` A))
18		ocelt 9093	. . . . . . . . . . . 12 |- (A (_ H~ -> ((f` z) e. (_|_` A) <-> ((f` z) e. H~ /\ A.y e. A ((f` z) .ih y) = 0)))
19	2, 18	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ((f` z) e. (_|_` A) <-> ((f` z) e. H~ /\ A.y e. A ((f` z) .ih y) = 0))
20	19	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . 10 |- ((f` z) e. (_|_` A) -> A.y e. A ((f` z) .ih y) = 0)
21	17, 20	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->(_|_` A) /\ z e. NN) -> A.y e. A ((f` z) .ih y) = 0)
22	21	r19.21aiva 1711	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->(_|_` A) -> A.z e. NN A.y e. A ((f` z) .ih y) = 0)
23		ralcom 1771	. . . . . . . 8 |- (A.y e. A A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0 <-> A.z e. NN A.y e. A ((f` z) .ih y) = 0)
24	22, 23	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (f:NN-->(_|_` A) -> A.y e. A A.z e. NN ((f` z) .ih y) = 0)
25	16, 24	syl5 21	. . . . . 6 |- (f ~~>v x -> (f:NN-->(_|_` A) -> A.y e. A (x .ih y) = 0))
26	25	impcom 351	. . . . 5 |- ((f:NN-->(_|_` A) /\ f ~~>v x) -> A.y e. A (x .ih y) = 0)
27	8, 26	jca 288	. . . 4 |- ((f:NN-->(_|_` A) /\ f ~~>v x) -> (x e. H~ /\ A.y e. A (x .ih y) = 0))
28		ocelt 9093	. . . . 5 |- (A (_ H~ -> (x e. (_|_` A) <-> (x e. H~ /\ A.y e. A (x .ih y) = 0)))
29	2, 28	ax-mp 7	. . . 4 |- (x e. (_|_` A) <-> (x e. H~ /\ A.y e. A (x .ih y) = 0))
30	27, 29	sylibr 200	. . 3 |- ((f:NN-->(_|_` A) /\ f ~~>v x) -> x e. (_|_` A))
31	30	gen2 981	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->(_|_` A) /\ f ~~>v x) -> x e. (_|_` A))
32	1, 4, 31	mpbir2an 729	1 |- (_|_` A) e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  0cc0 5214  NNcn 5276  H~chil 8727   .ih csp 8732   ~~>v chli 8735  SHcsh 8736  CHcch 8737  _|_cort 8738

This theorem is referenced by:  occlt 9121  choccl 9124  shjshs 9353  sshhococ 9407  h1det 9411  h1de2b 9415  h1de2bOLD 9416  h1de2ctlem 9417  h1de2ct 9418  spansnpj 9441  hst0t 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-sh 9015  df-ch 9031  df-oc 9063

Copyright terms: Public domain