Theorem occllem1 9128

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
occllem1.1	|- A e. H~
occllem1.2	|- B e. H~
occllem1.3	|- S e. H~

Assertion

Ref	Expression
occllem1	|- (abs` ((B .ih S) - (A .ih S))) <_ ((normh` (B -h A)) x. (normh` S))

Proof of Theorem occllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		occllem1.2	. . . . . 6 |- B e. H~
2		ax1cn 5252	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
3	2	negcl 5352	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
4		occllem1.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
5	3, 4	hvmulcl 8839	. . . . . 6 |- (-u1 .h A) e. H~
6		occllem1.3	. . . . . 6 |- S e. H~
7		ax-his2 8905	. . . . . 6 |- ((B e. H~ /\ (-u1 .h A) e. H~ /\ S e. H~) -> ((B +h (-u1 .h A)) .ih S) = ((B .ih S) + ((-u1 .h A) .ih S)))
8	1, 5, 6, 7	mp3an 915	. . . . 5 |- ((B +h (-u1 .h A)) .ih S) = ((B .ih S) + ((-u1 .h A) .ih S))
9		ax-his3 8906	. . . . . . 7 |- ((-u1 e. CC /\ A e. H~ /\ S e. H~) -> ((-u1 .h A) .ih S) = (-u1 x. (A .ih S)))
10	3, 4, 6, 9	mp3an 915	. . . . . 6 |- ((-u1 .h A) .ih S) = (-u1 x. (A .ih S))
11	10	opreq2i 3967	. . . . 5 |- ((B .ih S) + ((-u1 .h A) .ih S)) = ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S)))
12	8, 11	eqtr2 1494	. . . 4 |- ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S))) = ((B +h (-u1 .h A)) .ih S)
13	4, 6	hicl 8903	. . . . . . 7 |- (A .ih S) e. CC
14	13	mulm1 5455	. . . . . 6 |- (-u1 x. (A .ih S)) = -u(A .ih S)
15	14	opreq2i 3967	. . . . 5 |- ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S))) = ((B .ih S) + -u(A .ih S))
16	1, 6	hicl 8903	. . . . . 6 |- (B .ih S) e. CC
17	16, 13	negsub 5364	. . . . 5 |- ((B .ih S) + -u(A .ih S)) = ((B .ih S) - (A .ih S))
18	15, 17	eqtr2 1494	. . . 4 |- ((B .ih S) - (A .ih S)) = ((B .ih S) + (-u1 x. (A .ih S)))
19	1, 4	hvsubval 8845	. . . . 5 |- (B -h A) = (B +h (-u1 .h A))
20	19	opreq1i 3966	. . . 4 |- ((B -h A) .ih S) = ((B +h (-u1 .h A)) .ih S)
21	12, 18, 20	3eqtr4 1503	. . 3 |- ((B .ih S) - (A .ih S)) = ((B -h A) .ih S)
22	21	fveq2i 3722	. 2 |- (abs` ((B .ih S) - (A .ih S))) = (abs` ((B -h A) .ih S))
23	1, 4	hvsubcl 8846	. . 3 |- (B -h A) e. H~
24	23, 6	bcsHIL 9002	. 2 |- (abs` ((B -h A) .ih S)) <_ ((normh` (B -h A)) x. (normh` S))
25	22, 24	eqbrtr 2630	1 |- (abs` ((B .ih S) - (A .ih S))) <_ ((normh` (B -h A)) x. (normh` S))

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275  -ucneg 5276   <_ cle 5278  abscabs 6696  H~chil 8743   +h cva 8744   .h csm 8745   -h cmv 8747   .ih csp 8748  normhcno 8749

This theorem is referenced by:  occllem2 9129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928  df-sum 6933  df-top 7552  df-bases 7554  df-topgen 7555  df-cld 7623  df-ntr 7624  df-cls 7625  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-haus 7742  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ip 8312  df-ph 8431  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795

Copyright terms: Public domain