Theorem occllem4 9171

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
occllem3.1	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((F` x) .ih S))}
occllem4.2	|- S e. H~

Assertion

Ref	Expression
occllem4	|- (F:NN-->H~ -> G:NN-->CC)

Distinct variable groups:   x,y,F   x,S,y

Proof of Theorem occllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. . . . 5 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> (F` x) e. H~)
2		occllem4.2	. . . . 5 |- S e. H~
3	1, 2	jctir 293	. . . 4 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> ((F` x) e. H~ /\ S e. H~))
4		hiclt 8942	. . . 4 |- (((F` x) e. H~ /\ S e. H~) -> ((F` x) .ih S) e. CC)
5	3, 4	syl 10	. . 3 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> ((F` x) .ih S) e. CC)
6	5	r19.21aiva 1717	. 2 |- (F:NN-->H~ -> A.x e. NN ((F` x) .ih S) e. CC)
7		occllem3.1	. . 3 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((F` x) .ih S))}
8	7	fopab2 3829	. 2 |- (A.x e. NN ((F` x) .ih S) e. CC <-> G:NN-->CC)
9	6, 8	sylib 198	1 |- (F:NN-->H~ -> G:NN-->CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  NNcn 5308  H~chil 8783   .ih csp 8788

This theorem is referenced by:  occllem6 9173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hfi 8941

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain