Theorem occllem5 9116

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypothesis

Ref	Expression
occllem3.1	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((F` x) .ih S))}

Assertion

Ref	Expression
occllem5	|- (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> G ~~> 0)

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,S,y,z   z,G

Proof of Theorem occllem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3715	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (F` z) = (F` x))
2	1	opreq1d 3966	. . . . . . . 8 |- (z = x -> ((F` z) .ih S) = ((F` x) .ih S))
3	2	eqeq1d 1480	. . . . . . 7 |- (z = x -> (((F` z) .ih S) = 0 <-> ((F` x) .ih S) = 0))
4	3	rcla4v 1869	. . . . . 6 |- (x e. NN -> (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> ((F` x) .ih S) = 0))
5		eqeq2 1481	. . . . . 6 |- (((F` x) .ih S) = 0 -> (y = ((F` x) .ih S) <-> y = 0))
6	4, 5	syl6com 53	. . . . 5 |- (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> (x e. NN -> (y = ((F` x) .ih S) <-> y = 0)))
7	6	pm5.32d 646	. . . 4 |- (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> ((x e. NN /\ y = ((F` x) .ih S)) <-> (x e. NN /\ y = 0)))
8	7	opabbidv 2665	. . 3 |- (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((F` x) .ih S))} = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = 0)})
9		occllem3.1	. . 3 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((F` x) .ih S))}
10		fconstopab 3205	. . 3 |- (NN X. {0}) = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = 0)}
11	8, 9, 10	3eqtr4g 1528	. 2 |- (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> G = (NN X. {0}))
12		nnuz 6379	. . . 4 |- NN = (ZZ>` 1)
13		xpeq1 3195	. . . 4 |- (NN = (ZZ>` 1) -> (NN X. {0}) = ((ZZ>` 1) X. {0}))
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- (NN X. {0}) = ((ZZ>` 1) X. {0})
15		1z 6114	. . . 4 |- 1 e. ZZ
16	15	climuz0 7053	. . 3 |- ((ZZ>` 1) X. {0}) ~~> 0
17	14, 16	eqbrtr 2629	. 2 |- (NN X. {0}) ~~> 0
18	11, 17	syl6eqbr 2647	1 |- (A.z e. NN ((F` z) .ih S) = 0 -> G ~~> 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  {csn 2405   class class class wbr 2614  {copab 2661   X. cxp 3163  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  0cc0 5214  1c1 5215  NNcn 5276  ZZ>cuz 6357   ~~> cli 6920   .ih csp 8732

This theorem is referenced by:  occllem7 9118

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-uz 6358  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921

Copyright terms: Public domain