HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococ Unicode version

Theorem ococ 21978
Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococ  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem ococ
StepHypRef Expression
1 fveq2 5486 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( _|_ `  A )  =  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )
21fveq2d 5490 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H ) ) ) )
3 id 21 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  A  =  if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H ) )
42, 3eqeq12d 2299 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  =  A  <->  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )
5 helch 21816 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
65elimel 3619 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
76ococi 21977 . 2  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
84, 7dedth 3608 1  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3567   ` cfv 5222   ~Hchil 21492   CHcch 21502   _|_cort 21503
This theorem is referenced by:  dfch2  21979  ococin  21980  shlub  21986  pjhtheu2  21988  shjshseli  22065  chsscon1  22073  chpsscon1  22076  chpsscon2  22077  chdmm2  22098  chdmm3  22099  chdmm4  22100  chdmj1  22101  chdmj2  22102  chdmj3  22103  chdmj4  22104  fh2  22191  hstle  22803  hstoh  22805  mddmd  22874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813  ax-hilex 21572  ax-hfvadd 21573  ax-hvcom 21574  ax-hvass 21575  ax-hv0cl 21576  ax-hvaddid 21577  ax-hfvmul 21578  ax-hvmulid 21579  ax-hvmulass 21580  ax-hvdistr1 21581  ax-hvdistr2 21582  ax-hvmul0 21583  ax-hfi 21651  ax-his1 21654  ax-his2 21655  ax-his3 21656  ax-his4 21657  ax-hcompl 21774
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-rest 13322  df-topgen 13339  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-cld 16751  df-ntr 16752  df-cls 16753  df-nei 16830  df-lm 16954  df-haus 17038  df-fbas 17515  df-fg 17516  df-fil 17536  df-fm 17628  df-flim 17629  df-flf 17630  df-cfil 18676  df-cau 18677  df-cmet 18678  df-grpo 20851  df-gid 20852  df-ginv 20853  df-gdiv 20854  df-ablo 20942  df-subgo 20962  df-vc 21095  df-nv 21141  df-va 21144  df-ba 21145  df-sm 21146  df-0v 21147  df-vs 21148  df-nmcv 21149  df-ims 21150  df-ssp 21291  df-ph 21384  df-cbn 21435  df-hnorm 21541  df-hba 21542  df-hvsub 21544  df-hlim 21545  df-hcau 21546  df-sh 21779  df-ch 21794  df-oc 21824  df-ch0 21825
  Copyright terms: Public domain W3C validator