HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococ Unicode version

Theorem ococ 22749
Description: Complement of complement of a closed subspace of Hilbert space. Theorem 3.7(ii) of [Beran] p. 102. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococ  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )

Proof of Theorem ococ
StepHypRef Expression
1 fveq2 5661 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( _|_ `  A )  =  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )
21fveq2d 5665 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H ) ) ) )
3 id 20 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  A  =  if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H ) )
42, 3eqeq12d 2394 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  =  A  <->  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )
5 helch 22587 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
65elimel 3727 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
76ococi 22748 . 2  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
) )  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )
84, 7dedth 3716 1  |-  ( A  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3675   ` cfv 5387   ~Hchil 22263   CHcch 22273   _|_cort 22274
This theorem is referenced by:  dfch2  22750  ococin  22751  shlub  22757  pjhtheu2  22759  shjshseli  22836  chsscon1  22844  chpsscon1  22847  chpsscon2  22848  chdmm2  22869  chdmm3  22870  chdmm4  22871  chdmj1  22872  chdmj2  22873  chdmj3  22874  chdmj4  22875  fh2  22962  hstle  23574  hstoh  23576  mddmd  23645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cc 8241  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996  ax-hilex 22343  ax-hfvadd 22344  ax-hvcom 22345  ax-hvass 22346  ax-hv0cl 22347  ax-hvaddid 22348  ax-hfvmul 22349  ax-hvmulid 22350  ax-hvmulass 22351  ax-hvdistr1 22352  ax-hvdistr2 22353  ax-hvmul0 22354  ax-hfi 22422  ax-his1 22425  ax-his2 22426  ax-his3 22427  ax-his4 22428  ax-hcompl 22545
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lm 17208  df-haus 17294  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-cfil 19072  df-cau 19073  df-cmet 19074  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-gdiv 21623  df-ablo 21711  df-subgo 21731  df-vc 21866  df-nv 21912  df-va 21915  df-ba 21916  df-sm 21917  df-0v 21918  df-vs 21919  df-nmcv 21920  df-ims 21921  df-ssp 22062  df-ph 22155  df-cbn 22206  df-hnorm 22312  df-hba 22313  df-hvsub 22315  df-hlim 22316  df-hcau 22317  df-sh 22550  df-ch 22565  df-oc 22595  df-ch0 22596
  Copyright terms: Public domain W3C validator