HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococin Unicode version

Theorem ococin 22898
Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococin  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ococin
StepHypRef Expression
1 helch 22734 . . . . . . . . 9  |-  ~H  e.  CH
21jctl 526 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ~H  e.  CH  /\  A  C_ 
~H ) )
3 sseq2 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
43elrab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( ~H  e.  { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  <->  ( ~H  e.  CH 
/\  A  C_  ~H ) )
52, 4sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ~H  e.  { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
6 intss1 4057 . . . . . . 7  |-  ( ~H  e.  { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )
8 ocss 22775 . . . . . 6  |-  ( |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) 
C_  ~H )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ~H )
10 ocss 22775 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
119, 10jca 519 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A
)  C_  ~H )
)
12 ssintub 4060 . . . . 5  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }
13 occon 22777 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ~H )  ->  ( A 
C_  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
147, 13mpdan 650 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
1512, 14mpi 17 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A ) )
16 occon 22777 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) 
C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  ->  ( ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) ) ) )
1711, 15, 16sylc 58 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) ) )
18 ssrab2 3420 . . . . 5  |-  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  CH
193rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ~H  e.  CH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  CH  A  C_  x )
201, 19mpan 652 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  CH  A  C_  x
)
21 rabn0 3639 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  CH  A  C_  x )
2220, 21sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )
23 chintcl 22822 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_ 
CH  /\  { x  e.  CH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH )
2418, 22, 23sylancr 645 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH )
25 ococ 22896 . . . 4  |-  ( |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  e.  CH 
->  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) )  = 
|^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }
)
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } ) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
2717, 26sseqtrd 3376 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
28 occl 22794 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
2910, 28syl 16 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
30 ococss 22783 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
31 sseq2 3362 . . . . 5  |-  ( x  =  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
3231elrab 3084 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }  <->  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
3329, 30, 32sylanbrc 646 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  e.  {
x  e.  CH  |  A  C_  x } )
34 intss1 4057 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ x  e.  CH  |  A  C_  x }  ->  |^| { x  e. 
CH  |  A  C_  x }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x }  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
3627, 35eqssd 3357 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  |^| { x  e.  CH  |  A  C_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   |^|cint 4042   ` cfv 5445   ~Hchil 22410   CHcch 22420   _|_cort 22421
This theorem is referenced by:  hsupval2  22899  sshjval2  22901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575  ax-hcompl 22692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-lm 17281  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-subgo 21878  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ssp 22209  df-ph 22302  df-cbn 22353  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-hlim 22463  df-hcau 22464  df-sh 22697  df-ch 22712  df-oc 22742  df-ch0 22743
  Copyright terms: Public domain W3C validator