HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococss Unicode version

Theorem ococss 21832
Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococss  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )

Proof of Theorem ococss
StepHypRef Expression
1 ssel 3149 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H ) )
2 ocorth 21830 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( y  .ih  x
)  =  0 ) )
32exp3a 427 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  ( _|_ `  A )  ->  (
y  .ih  x )  =  0 ) ) )
43ralrimdv 2607 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  ( _|_ `  A
) ( y  .ih  x )  =  0 ) )
51, 4jcad 521 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  (
y  e.  ~H  /\  A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y 
.ih  x )  =  0 ) ) )
6 ocss 21824 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
7 ocel 21820 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  <-> 
( y  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y  .ih  x
)  =  0 ) ) )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  <-> 
( y  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  ( _|_ `  A ) ( y  .ih  x
)  =  0 ) ) )
95, 8sylibrd 227 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
109ssrdv 3160 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518    C_ wss 3127   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   ~Hchil 21459    .ih csp 21462   _|_cort 21470
This theorem is referenced by:  shococss  21833  occon3  21836  hsupunss  21882  spanssoc  21888  shunssji  21908  ococin  21947  sshhococi  22085  h1did  22090  spansnpji  22117  pjoccoi  22718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-hilex 21539  ax-hfvadd 21540  ax-hv0cl 21543  ax-hfvmul 21545  ax-hvmul0 21550  ax-hfi 21618  ax-his1 21621  ax-his2 21622  ax-his3 21623
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sh 21746  df-oc 21791
  Copyright terms: Public domain W3C validator