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Theorem ocsh 21692
Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocsh  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )

Proof of Theorem ocsh
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3179 . . . 4  |-  { x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 }  C_  ~H
2 ocval 21689 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  =  {
x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 } )
32sseq1d 3126 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  <->  { x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 }  C_  ~H ) )
41, 3mpbiri 226 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
5 ssel 3097 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H ) )
6 hi01 21505 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  y )  =  0 )
75, 6syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) )
87ralrimiv 2587 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 )
9 ax-hv0cl 21413 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
108, 9jctil 525 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( 0h  e.  ~H  /\  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) )
11 ocel 21690 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( 0h  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) ) )
1210, 11mpbird 225 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  0h  e.  ( _|_ `  A ) )
134, 12jca 520 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( _|_ `  A ) ) )
14 ssel2 3098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ~H )
15 ax-his2 21492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  +h  y
)  .ih  z )  =  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) ) )
16153expa 1156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  +h  y )  .ih  z )  =  ( ( x  .ih  z
)  +  ( y 
.ih  z ) ) )
17 oveq12 5719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) )  =  ( 0  +  0 ) )
18 00id 8867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1917, 18syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) )  =  0 )
2016, 19sylan9eq 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 )
2120ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  (
y  .ih  z )  =  0 )  -> 
( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
2221ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  +h  y )  .ih  z )  =  0 ) )
2314, 22sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  /\  ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2423an32s 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2524ralimdva 2583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
2625imdistanda 677 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  ->  (
( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) ) )
27 hvaddcl 21422 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
2827anim1i 554 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2926, 28syl6 31 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  ->  (
( x  +h  y
)  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
30 ocel 21690 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 ) ) )
31 ocel 21690 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) )
3230, 31anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) ) )
33 an4 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0 ) ) )
34 r19.26 2637 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  <-> 
( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) )
3534anbi2i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) )
3633, 35bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
3732, 36syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) ) )
38 ocel 21690 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
3929, 37, 383imtr4d 261 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
) ) )
4039ralrimivv 2596 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. x  e.  ( _|_ `  A
) A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A ) )
41 mul01 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
42 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  .ih  z )  =  0  ->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  ( x  x.  0 ) )
4342eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  .ih  z )  =  0  ->  (
( x  x.  (
y  .ih  z )
)  =  0  <->  (
x  x.  0 )  =  0 ) )
4441, 43syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  .ih  z
)  =  0  -> 
( x  x.  (
y  .ih  z )
)  =  0 ) )
4544ad2antrl 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  z )  =  0  ->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  0 ) )
46 ax-his3 21493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  ( x  x.  ( y  .ih  z
) ) )
4746eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0  <->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  0 ) )
48473expa 1156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0  <->  ( x  x.  ( y  .ih  z
) )  =  0 ) )
4948ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0  <->  ( x  x.  ( y  .ih  z
) )  =  0 ) )
5045, 49sylibrd 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  z )  =  0  ->  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0 ) )
5114, 50sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( y  .ih  z )  =  0  ->  ( ( x  .h  y )  .ih  z )  =  0 ) )
5251an32s 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  .ih  z
)  =  0  -> 
( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
5352ralimdva 2583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0  ->  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
5453imdistanda 677 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
55 hvmulcl 21423 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
5655anim1i 554 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
5754, 56syl6 31 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
5831anbi2d 687 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0 ) ) ) )
59 anass 633 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
6058, 59syl6bbr 256 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
61 ocel 21690 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
6257, 60, 613imtr4d 261 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( _|_ `  A ) ) )
6362ralrimivv 2596 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) )
6440, 63jca 520 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A. x  e.  ( _|_ `  A ) A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) ) )
65 issh2 21618 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  <->  ( (
( _|_ `  A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( _|_ `  A
) )  /\  ( A. x  e.  ( _|_ `  A ) A. y  e.  ( _|_ `  A ) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) ) ) )
6613, 64, 65sylanbrc 648 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   {crab 2512    C_ wss 3078   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617    + caddc 8620    x. cmul 8622   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .h csm 21331    .ih csp 21332   0hc0v 21334   SHcsh 21338   _|_cort 21340
This theorem is referenced by:  shocsh  21693  ocss  21694  occl  21713  spanssoc  21758  ssjo  21856  chscllem2  22065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hv0cl 21413  ax-hfvmul 21415  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his2 21492  ax-his3 21493
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sh 21616  df-oc 21661
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