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Theorem ocsh 21858
Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocsh  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )

Proof of Theorem ocsh
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3259 . . . 4  |-  { x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 }  C_  ~H
2 ocval 21855 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  =  {
x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 } )
32sseq1d 3206 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  <->  { x  e.  ~H  |  A. y  e.  A  ( x  .ih  y )  =  0 }  C_  ~H ) )
41, 3mpbiri 224 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
5 ssel 3175 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H ) )
6 hi01 21671 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  y )  =  0 )
75, 6syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  A  ->  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) )
87ralrimiv 2626 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 )
9 ax-hv0cl 21579 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
108, 9jctil 523 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( 0h  e.  ~H  /\  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) )
11 ocel 21856 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( 0h  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( 0h  e.  ~H  /\  A. y  e.  A  ( 0h  .ih  y )  =  0 ) ) )
1210, 11mpbird 223 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  0h  e.  ( _|_ `  A ) )
134, 12jca 518 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( _|_ `  A ) ) )
14 ssel2 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ~H )
15 ax-his2 21658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  +h  y
)  .ih  z )  =  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) ) )
16153expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  +h  y )  .ih  z )  =  ( ( x  .ih  z
)  +  ( y 
.ih  z ) ) )
17 oveq12 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) )  =  ( 0  +  0 ) )
18 00id 8983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1917, 18syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x 
.ih  z )  +  ( y  .ih  z
) )  =  0 )
2016, 19sylan9eq 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 )
2120ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  (
y  .ih  z )  =  0 )  -> 
( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
2221ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  +h  y )  .ih  z )  =  0 ) )
2314, 22sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  /\  ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2423an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 )  ->  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2524ralimdva 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
2625imdistanda 674 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  ->  (
( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 ) ) )
27 hvaddcl 21588 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
2827anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y )  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
2926, 28syl6 29 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  ->  (
( x  +h  y
)  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  ( ( x  +h  y
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
30 ocel 21856 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( x  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 ) ) )
31 ocel 21856 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( y  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( y  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) )
3230, 31anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) ) )
33 an4 797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0 ) ) )
34 r19.26 2676 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 )  <-> 
( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) )
3534anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) )
3633, 35bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( x  .ih  z )  =  0 )  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) )  <->  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  (
( x  .ih  z
)  =  0  /\  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
3732, 36syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  <->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .ih  z )  =  0  /\  ( y  .ih  z )  =  0 ) ) ) )
38 ocel 21856 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( x  +h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  +h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
3929, 37, 383imtr4d 259 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  ( _|_ `  A )  /\  y  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
) ) )
4039ralrimivv 2635 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. x  e.  ( _|_ `  A
) A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A ) )
41 mul01 8987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
42 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  .ih  z )  =  0  ->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  ( x  x.  0 ) )
4342eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  .ih  z )  =  0  ->  (
( x  x.  (
y  .ih  z )
)  =  0  <->  (
x  x.  0 )  =  0 ) )
4441, 43syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  .ih  z
)  =  0  -> 
( x  x.  (
y  .ih  z )
)  =  0 ) )
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  z )  =  0  ->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  0 ) )
46 ax-his3 21659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  ( x  x.  ( y  .ih  z
) ) )
4746eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0  <->  (
x  x.  ( y 
.ih  z ) )  =  0 ) )
48473expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0  <->  ( x  x.  ( y  .ih  z
) )  =  0 ) )
4948ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0  <->  ( x  x.  ( y  .ih  z
) )  =  0 ) )
5045, 49sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  z )  =  0  ->  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0 ) )
5114, 50sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  z  e.  A )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( ( y  .ih  z )  =  0  ->  ( ( x  .h  y )  .ih  z )  =  0 ) )
5251an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  .ih  z
)  =  0  -> 
( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0 ) )
5352ralimdva 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0  ->  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
5453imdistanda 674 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  (
( x  .h  y
)  .ih  z )  =  0 ) ) )
55 hvmulcl 21589 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
5655anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( ( x  .h  y )  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) )
5754, 56syl6 29 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  ->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
5831anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  ~H  /\  A. z  e.  A  (
y  .ih  z )  =  0 ) ) ) )
59 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( y  e.  ~H  /\ 
A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
6058, 59syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  A. z  e.  A  ( y  .ih  z
)  =  0 ) ) )
61 ocel 21856 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  ( ( x  .h  y )  e. 
~H  /\  A. z  e.  A  ( (
x  .h  y ) 
.ih  z )  =  0 ) ) )
6257, 60, 613imtr4d 259 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( _|_ `  A ) ) )
6362ralrimivv 2635 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) )
6440, 63jca 518 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A. x  e.  ( _|_ `  A ) A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) ) )
65 issh2 21784 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  <->  ( (
( _|_ `  A
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( _|_ `  A
) )  /\  ( A. x  e.  ( _|_ `  A ) A. y  e.  ( _|_ `  A ) ( x  +h  y )  e.  ( _|_ `  A
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( _|_ `  A
) ( x  .h  y )  e.  ( _|_ `  A ) ) ) )
6613, 64, 65sylanbrc 645 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   {crab 2548    C_ wss 3153   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733    + caddc 8736    x. cmul 8738   ~Hchil 21495    +h cva 21496    .h csm 21497    .ih csp 21498   0hc0v 21500   SHcsh 21504   _|_cort 21506
This theorem is referenced by:  shocsh  21859  ocss  21860  occl  21879  spanssoc  21924  ssjo  22022  chscllem2  22213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hv0cl 21579  ax-hfvmul 21581  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his2 21658  ax-his3 21659
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-sh 21782  df-oc 21827
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