Theorem ocvalt 9069

Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
ocvalt	|- (H (_ H~ -> (_|_` H) = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})

Distinct variable group:   x,y,H

Proof of Theorem ocvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8790	. . 3 |- H~ e. V
2	1	elpw2 2718	. 2 |- (H e. P~H~ <-> H (_ H~)
3		raleq1 1778	. . . 4 |- (z = H -> (A.y e. z (x .ih y) = 0 <-> A.y e. H (x .ih y) = 0))
4	3	rabbisdv 1798	. . 3 |- (z = H -> {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0} = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})
5		df-oc 9045	. . . 4 |- _|_ = {<.z, w>. | (z (_ H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})}
6	1	elpw2 2718	. . . . . 6 |- (z e. P~H~ <-> z (_ H~)
7	6	anbi1i 480	. . . . 5 |- ((z e. P~H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0}) <-> (z (_ H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0}))
8	7	opabbii 2661	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. P~H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})} = {<.z, w>. | (z (_ H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})}
9	5, 8	eqtr4 1490	. . 3 |- _|_ = {<.z, w>. | (z e. P~H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})}
10	1	rabex 2715	. . 3 |- {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0} e. V
11	4, 9, 10	fvopab4 3765	. 2 |- (H e. P~H~ -> (_|_` H) = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})
12	2, 11	sylbir 201	1 |- (H (_ H~ -> (_|_` H) = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  {crab 1640   (_ wss 2037  P~cpw 2391  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  0cc0 5206  H~chil 8727   .ih csp 8732  _|_cort 8738

This theorem is referenced by:  ocelt 9070  ocsh 9072  occont 9076  chocval 9087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-oc 9045

Copyright terms: Public domain