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Theorem odi 6572
Description: Distributive law for ordinal arithmetic. Proposition 8.25 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
odi  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )

Proof of Theorem odi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
21oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) ) )
3 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
43oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
52, 4eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) ) )
6 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  y ) ) )
8 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
98oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )
11 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1211oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) ) )
13 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
1413oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) )
1512, 14eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  <-> 
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
16 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1716oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
18 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
1918oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
2017, 19eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
21 omcl 6530 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
22 oa0 6510 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2321, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
24 om0 6511 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2524adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2625oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
27 oa0 6510 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2827adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2928oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  .o  B
) )
3023, 26, 293eqtr4rd 2327 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
31 oveq1 5826 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
) )
32 oasuc 6518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
33323adant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3433oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) ) )
35 oacl 6529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
36 omsuc 6520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3735, 36sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
38373impb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3934, 38eqtrd 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
40 omsuc 6520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
41403adant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
4241oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
43 omcl 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  y
)  e.  On )
44 oaass 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( A  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4521, 44syl3an1 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( A  .o  y )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4643, 45syl3an2 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
47463exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
4847exp4b 593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) ) )
4948pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5049com4r 82 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5150pm2.43i 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
52513imp 1150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
5342, 52eqtr4d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) )
5439, 53eqeq12d 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) )  <->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) ) )
5531, 54syl5ibr 214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
56553exp 1155 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5756com3r 75 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5857imp3a 422 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) )
59 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
60 limelon 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
6159, 60mpan 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
62 oacl 6529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
63 om0r 6533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  ( (/) 
.o  ( B  +o  x ) )  =  (/) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) )  =  (/) )
65 om0r 6533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
66 om0r 6533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
.o  x )  =  (/) )
6765, 66oveqan12d 5838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) )  =  ( (/)  +o  (/) ) )
68 0elon 4444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  On
69 oa0 6510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  +o  (/) )  =  (/) )
7068, 69ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  +o  (/) )  =  (/)
7167, 70syl6req 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  -> 
(/)  =  ( (
(/)  .o  B )  +o  ( (/)  .o  x
) ) )
7264, 71eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B )  +o  ( (/) 
.o  x ) ) )
7361, 72sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( (/) 
.o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) ) )
7473ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( (/) 
.o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) ) )
75 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) ) )
76 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
77 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( (/)  .o  x
) )
7876, 77oveq12d 5837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) ) )
7975, 78eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B )  +o  ( (/) 
.o  x ) ) ) )
8074, 79syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) )
8180exp3a 427 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
8281com3r 75 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
8382imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( Lim  x  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) ) ) )
8483a1dd 44 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
85 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  B  e.  On )
8662ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
87 onelon 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
8886, 87sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  z  e.  On )
89 ontri1 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  -.  z  e.  B ) )
90 oawordex 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. v  e.  On  ( B  +o  v )  =  z ) )
9189, 90bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( -.  z  e.  B  <->  E. v  e.  On  ( B  +o  v
)  =  z ) )
9285, 88, 91syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( -.  z  e.  B  <->  E. v  e.  On  ( B  +o  v )  =  z ) )
93 oaord 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
v  e.  x  <->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x ) ) )
94933expb 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( v  e.  x  <->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x ) ) )
95 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  (
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
9694, 95sylan9bb 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
v  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
97 iba 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  (
v  e.  x  <->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
9897adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
v  e.  x  <->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
9996, 98bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  <->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
10099an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( B  +o  v
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( z  e.  ( B  +o  x )  <-> 
( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
101100biimpcd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  (
( ( v  e.  On  /\  ( B  +o  v )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
102101exp4c 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  (
v  e.  On  ->  ( ( B  +o  v
)  =  z  -> 
( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) ) ) )
103102com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( v  e.  On  ->  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) ) ) )
104103imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( v  e.  On  ->  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) ) )
105104reximdvai 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. v  e.  On  ( B  +o  v )  =  z  ->  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
10692, 105sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( -.  z  e.  B  ->  E. v  e.  On  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
107106orrd 369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
10861, 107sylanl1 634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
109108adantlrl 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  B  \/  E. v  e.  On  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
110109adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  B  \/  E. v  e.  On  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
111 0ellim 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
112 om00el 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  x )  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  x ) ) )
113112biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  x )  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
114111, 113sylan2i 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (/) 
e.  ( A  .o  x ) ) )
11561, 114sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( (/)  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
116115exp4b 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( Lim  x  ->  (/) 
e.  ( A  .o  x ) ) ) ) )
117116com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  .o  x ) ) ) ) )
118117pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  .o  x ) ) ) )
119118imp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) )
120119a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
121120adantlrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
122 omordi 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B ) ) )
123122ancom1s 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B ) ) )
124 onelss 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  z
)  e.  ( A  .o  B )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
12522sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  <->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  B ) ) )
126124, 125sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  z
)  e.  ( A  .o  B )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) ) )
12721, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B )  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
128127adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B
)  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
129123, 128syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
130129adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) ) )
131121, 130jcad 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  x
)  /\  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) ) )
132 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
133132sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  .o  z ) 
C_  ( ( A  .o  B )  +o  w )  <->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
134133rspcev 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  e.  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
135131, 134syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
136135adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  (
z  e.  B  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) ) )
137 omordi 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( v  e.  x  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x ) ) )
13861, 137sylanl1 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( v  e.  x  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x ) ) )
139138adantrd 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x
) ) )
140139adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x
) ) )
141 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  v  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  v
) )
142141oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  v  ->  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) )
143 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  v  ->  ( A  .o  y )  =  ( A  .o  v
) )
144143oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )
145142, 144eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
146145rspccv 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( v  e.  x  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
147 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( A  .o  z
) )
148 eqeq1 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( A  .o  z )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  =  ( A  .o  z ) ) )
149147, 148syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  ->  (
( B  +o  v
)  =  z  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) )  =  ( A  .o  z ) ) )
150 eqimss2 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) )  =  ( A  .o  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) )
151149, 150syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  ->  (
( B  +o  v
)  =  z  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) ) )
152151imim2i 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  x  -> 
( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )  -> 
( v  e.  x  ->  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) ) )
153152imp3a 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  x  -> 
( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )  -> 
( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
154146, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
155154ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
156140, 155jcad 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
( A  .o  v
)  e.  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) ) ) )
157 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( A  .o  v )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  w )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )
158157sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( A  .o  v )  ->  (
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  w )  <->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
159158rspcev 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  .o  v
)  e.  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
160156, 159syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
161160rexlimdvw 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
162161adantlrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  ( E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) ) )
163136, 162jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  (
( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
164163adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
165110, 164mpd 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) )
166165ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x
) E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) )
167 iunss2 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
)  C_  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z )  C_  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
169 omordlim 6570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x ) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) )
170169ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( w  e.  ( A  .o  x
)  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) ) )
17159, 170mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  x )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v ) ) )
172171ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  (
w  e.  ( A  .o  x )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v ) ) )
173172imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  w  e.  ( A  .o  x ) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v ) )
174173adantlrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) )
175174adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) )
176 oaordi 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( v  e.  x  ->  ( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
17761, 176sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
v  e.  x  -> 
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
178177imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  v  e.  x
)  ->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x ) )
179178adantlrl 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x
) )
180179a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
181180adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
182 limord 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
183 ordelon 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Ord  x  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  On )
184182, 183sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Lim  x  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  On )
185 omcl 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  e.  On )  ->  ( A  .o  v
)  e.  On )
186185ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  v
)  e.  On )
187186adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  v )  e.  On )
18821adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
189 oaordi 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  .o  v
)  e.  On  /\  ( A  .o  B
)  e.  On )  ->  ( w  e.  ( A  .o  v
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
190187, 188, 189syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( w  e.  ( A  .o  v
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
191184, 190sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Lim  x  /\  v  e.  x )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( w  e.  ( A  .o  v
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
192191an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
193192adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
194145rspccva 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  /\  v  e.  x )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) )
195194eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
196195adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
197193, 196sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) ) )
198 oacl 6529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  v  e.  On )  ->  ( B  +o  v
)  e.  On )
199198ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  v
)  e.  On )
200 omcl 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  v
)  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
201199, 200sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( v  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
202201an12s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
203184, 202sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Lim  x  /\  v  e.  x )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
204203an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  e.  On )
205 onelss 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  e.  On  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
207206adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
208197, 207syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
209181, 208jcad 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x )  /\  ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) ) ) )
210 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  v )  ->  ( A  .o  z )  =  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) )
211210sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  v )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  z )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) ) )
212211rspcev 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x )  /\  ( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) ( ( A  .o  B
)  +o  w ) 
C_  ( A  .o  z ) )
213209, 212syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) ( ( A  .o  B
)  +o  w ) 
C_  ( A  .o  z ) ) )
214213rexlimdva 2668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  ->  ( E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
)  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) ) )
215214adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  ( E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) ) )
216175, 215mpd 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) )
217216ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  ->  A. w  e.  ( A  .o  x
) E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) )
218 iunss2 3948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  ( A  .o  x ) E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z )  ->  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B
)  +o  w ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
) )
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  ->  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z ) )
220219adantrl 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z ) )
221168, 220eqssd 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
222 oalimcl 6553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
22359, 222mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
224223ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
225224anim2i 555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  e.  On  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )
226225an12s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  e.  On  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )
227 ovex 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
228 omlim 6527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z ) )
229227, 228mpanr1 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
) )
230226, 229syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z ) )
231230adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
) )
23221ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
23359jctl 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  _V  /\  Lim  x
) )
234233anim2i 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )
235234ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )
236 omlimcl 6571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  x ) )
237235, 236sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  x ) )
238237adantlrr 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  Lim  ( A  .o  x ) )
239 ovex 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  .o  x )  e. 
_V
240238, 239jctil 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  x )  e. 
_V  /\  Lim  ( A  .o  x ) ) )
241 oalim 6526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( A  .o  x ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
242232, 240, 241syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
243242adantrr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
244221, 231, 2433eqtr4d 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) )
245244exp43 598 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) ) )
246245com3l 77 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) ) )
247246imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
24884, 247oe0lem 6507 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
249248com12 29 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
2505, 10, 15, 20, 30, 58, 249tfinds3 4654 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
251250exp3acom3r 1366 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) ) )
2522513imp 1150 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U_ciun 3906   Ord word 4390   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393  (class class class)co 5819    +o coa 6471    .o comu 6472
This theorem is referenced by:  omass  6573  oeeui  6595  oaabs2  6638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479
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