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Theorem odi 6814
Description: Distributive law for ordinal arithmetic. Proposition 8.25 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
odi  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )

Proof of Theorem odi
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
21oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) ) )
3 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
43oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
52, 4eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) ) )
6 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  y ) ) )
8 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
98oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )
11 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1211oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) ) )
13 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
1413oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) )
1512, 14eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  <-> 
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
16 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1716oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
18 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
1918oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
2017, 19eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
21 omcl 6772 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
22 oa0 6752 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
24 om0 6753 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2524adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2625oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
27 oa0 6752 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2827adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2928oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  .o  B
) )
3023, 26, 293eqtr4rd 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
31 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
) )
32 oasuc 6760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
33323adant1 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3433oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) ) )
35 oacl 6771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
36 omsuc 6762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3735, 36sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
38373impb 1149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3934, 38eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
40 omsuc 6762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
41403adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
4241oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
43 omcl 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  y
)  e.  On )
44 oaass 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( A  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4521, 44syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( A  .o  y )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4643, 45syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
47463exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
4847exp4b 591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) ) )
4948pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5049com4r 82 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5150pm2.43i 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
52513imp 1147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
5342, 52eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) )
5439, 53eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) )  <->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) ) )
5531, 54syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
56553exp 1152 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5756com3r 75 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5857imp3a 421 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) )
59 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
60 limelon 4636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
6159, 60mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
62 oacl 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
63 om0r 6775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  ( (/) 
.o  ( B  +o  x ) )  =  (/) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) )  =  (/) )
65 om0r 6775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
66 om0r 6775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
.o  x )  =  (/) )
6765, 66oveqan12d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) )  =  ( (/)  +o  (/) ) )
68 0elon 4626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  On
69 oa0 6752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  +o  (/) )  =  (/) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  +o  (/) )  =  (/)
7167, 70syl6req 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  -> 
(/)  =  ( (
(/)  .o  B )  +o  ( (/)  .o  x
) ) )
7264, 71eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B )  +o  ( (/) 
.o  x ) ) )
7361, 72sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( (/) 
.o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) ) )
7473ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( (/) 
.o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) ) )
75 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) ) )
76 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
77 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( (/)  .o  x
) )
7876, 77oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B
)  +o  ( (/)  .o  x ) ) )
7975, 78eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( (/)  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( (/)  .o  B )  +o  ( (/) 
.o  x ) ) ) )
8074, 79syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) )
8180exp3a 426 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
8281com3r 75 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
8382imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( Lim  x  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) ) ) )
8483a1dd 44 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
85 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  B  e.  On )
8662ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
87 onelon 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
8886, 87sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  z  e.  On )
89 ontri1 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  -.  z  e.  B ) )
90 oawordex 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. v  e.  On  ( B  +o  v )  =  z ) )
9189, 90bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( -.  z  e.  B  <->  E. v  e.  On  ( B  +o  v
)  =  z ) )
9285, 88, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( -.  z  e.  B  <->  E. v  e.  On  ( B  +o  v )  =  z ) )
93 oaord 6782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
v  e.  x  <->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x ) ) )
94933expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( v  e.  x  <->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x ) ) )
95 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  (
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
9694, 95sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
v  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
97 iba 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  (
v  e.  x  <->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
9897adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
v  e.  x  <->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
9996, 98bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  <->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
10099an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( v  e.  On  /\  ( B  +o  v
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( z  e.  ( B  +o  x )  <-> 
( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
101100biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  (
( ( v  e.  On  /\  ( B  +o  v )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
102101exp4c 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  (
v  e.  On  ->  ( ( B  +o  v
)  =  z  -> 
( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) ) ) )
103102com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( v  e.  On  ->  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) ) ) )
104103imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( v  e.  On  ->  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) ) )
105104reximdvai 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. v  e.  On  ( B  +o  v )  =  z  ->  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
10692, 105sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( -.  z  e.  B  ->  E. v  e.  On  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
107106orrd 368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
10861, 107sylanl1 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z ) ) )
109108adantlrl 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  B  \/  E. v  e.  On  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
110109adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  B  \/  E. v  e.  On  (
v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) ) )
111 0ellim 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
112 om00el 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  x )  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  x ) ) )
113112biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  x )  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
114111, 113sylan2i 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( (/)  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (/) 
e.  ( A  .o  x ) ) )
11561, 114sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( (/)  e.  A  /\  Lim  x )  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
116115exp4b 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( Lim  x  ->  (/) 
e.  ( A  .o  x ) ) ) ) )
117116com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  .o  x ) ) ) ) )
118117pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  .o  x ) ) ) )
119118imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) )
120119a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
121120adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  (/)  e.  ( A  .o  x ) ) )
122 omordi 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B ) ) )
123122ancom1s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B ) ) )
124 onelss 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  z
)  e.  ( A  .o  B )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
12522sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  <->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  B ) ) )
126124, 125sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  z
)  e.  ( A  .o  B )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) ) )
12721, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B )  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
128127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  z )  e.  ( A  .o  B
)  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
129123, 128syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
130129adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) ) )
131121, 130jcad 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  x
)  /\  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) ) )
132 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
133132sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  .o  z ) 
C_  ( ( A  .o  B )  +o  w )  <->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  (/) ) ) )
134133rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  e.  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
135131, 134syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
136135adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  (
z  e.  B  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) ) )
137 omordi 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( v  e.  x  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x ) ) )
13861, 137sylanl1 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( v  e.  x  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x ) ) )
139138adantrd 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x
) ) )
140139adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  v )  e.  ( A  .o  x
) ) )
141 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  v  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  v
) )
142141oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  v  ->  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) )
143 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  v  ->  ( A  .o  y )  =  ( A  .o  v
) )
144143oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )
145142, 144eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
146145rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( v  e.  x  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
147 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( A  .o  z
) )
148 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( A  .o  z )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  =  ( A  .o  z ) ) )
149147, 148syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  ->  (
( B  +o  v
)  =  z  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) )  =  ( A  .o  z ) ) )
150 eqimss2 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) )  =  ( A  .o  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) )
151149, 150syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) )  ->  (
( B  +o  v
)  =  z  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) ) )
152151imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  x  -> 
( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )  -> 
( v  e.  x  ->  ( ( B  +o  v )  =  z  ->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) ) )
153152imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  x  -> 
( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )  -> 
( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
154146, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
155154ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
156140, 155jcad 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  (
( A  .o  v
)  e.  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) ) ) )
157 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( A  .o  v )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  w )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )
158157sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( A  .o  v )  ->  (
( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  w )  <->  ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
159158rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  .o  v
)  e.  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v
) ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
160156, 159syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
161160rexlimdvw 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) ) )  ->  ( E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v )  =  z )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
162161adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  ( E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  ( ( A  .o  B )  +o  w ) ) )
163136, 162jaod 370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  (
( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
164163adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
( z  e.  B  \/  E. v  e.  On  ( v  e.  x  /\  ( B  +o  v
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) ) )
165110, 164mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) )
166165ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x
) E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w ) )
167 iunss2 4128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. w  e.  ( A  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  (
( A  .o  B
)  +o  w )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
)  C_  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z )  C_  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
169 omordlim 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x ) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) )
170169ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( w  e.  ( A  .o  x
)  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) ) )
17159, 170mpanr1 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  x )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v ) ) )
172171ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  (
w  e.  ( A  .o  x )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v ) ) )
173172imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  w  e.  ( A  .o  x ) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v ) )
174173adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) )
175174adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
) )
176 oaordi 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( v  e.  x  ->  ( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
17761, 176sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
v  e.  x  -> 
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
178177imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  v  e.  x
)  ->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x ) )
179178adantlrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x
) )
180179a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
181180adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
182 limord 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
183 ordelon 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Ord  x  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  On )
184182, 183sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Lim  x  /\  v  e.  x )  ->  v  e.  On )
185 omcl 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  e.  On )  ->  ( A  .o  v
)  e.  On )
186185ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  v
)  e.  On )
187186adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  v )  e.  On )
18821adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
189 oaordi 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  .o  v
)  e.  On  /\  ( A  .o  B
)  e.  On )  ->  ( w  e.  ( A  .o  v
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
190187, 188, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( w  e.  ( A  .o  v
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
191184, 190sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Lim  x  /\  v  e.  x )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( w  e.  ( A  .o  v
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
192191an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
193192adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
194145rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  /\  v  e.  x )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  v ) ) )
195194eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
196195adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  e.  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  v ) ) ) )
197193, 196sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) ) )
198 oacl 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  v  e.  On )  ->  ( B  +o  v
)  e.  On )
199198ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  v
)  e.  On )
200 omcl 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  v
)  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
201199, 200sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( v  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
202201an12s 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
203184, 202sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Lim  x  /\  v  e.  x )  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v
) )  e.  On )
204203an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  e.  On )
205 onelss 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  v ) )  e.  On  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
206204, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
207206adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  e.  ( A  .o  ( B  +o  v ) )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
208197, 207syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) ) )
209181, 208jcad 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  -> 
( ( B  +o  v )  e.  ( B  +o  x )  /\  ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) ) ) )
210 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  v )  ->  ( A  .o  z )  =  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) )
211210sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  v )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  z )  <->  ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  ( B  +o  v ) ) ) )
212211rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  v
)  e.  ( B  +o  x )  /\  ( ( A  .o  B )  +o  w
)  C_  ( A  .o  ( B  +o  v
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) ( ( A  .o  B
)  +o  w ) 
C_  ( A  .o  z ) )
213209, 212syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  v  e.  x )  ->  (
w  e.  ( A  .o  v )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) ( ( A  .o  B
)  +o  w ) 
C_  ( A  .o  z ) ) )
214213rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  ->  ( E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v
)  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) ) )
215214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  ( E. v  e.  x  w  e.  ( A  .o  v )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) ) )
216175, 215mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  /\  w  e.  ( A  .o  x
) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) )
217216ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  ->  A. w  e.  ( A  .o  x
) E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z ) )
218 iunss2 4128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  ( A  .o  x ) E. z  e.  ( B  +o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  ( A  .o  z )  ->  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B
)  +o  w ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
) )
219217, 218syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) )  ->  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z ) )
220219adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z ) )
221168, 220eqssd 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
222 oalimcl 6795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
22359, 222mpanr1 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
224223ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
225224anim2i 553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  e.  On  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )
226225an12s 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  e.  On  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )
227 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
228 omlim 6769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z ) )
229227, 228mpanr1 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
) )
230226, 229syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  .o  z ) )
231230adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  .o  z
) )
23221ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
23359jctl 526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  _V  /\  Lim  x
) )
234233anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )
235234ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )
236 omlimcl 6813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  x ) )
237235, 236sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  x ) )
238237adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  Lim  ( A  .o  x ) )
239 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  .o  x )  e. 
_V
240238, 239jctil 524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  x )  e. 
_V  /\  Lim  ( A  .o  x ) ) )
241 oalim 6768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( ( A  .o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( A  .o  x ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
242232, 240, 241syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x ) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
243242adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  U_ w  e.  ( A  .o  x
) ( ( A  .o  B )  +o  w ) )
244221, 231, 2433eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( (/)  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) )
245244exp43 596 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) ) )
246245com3l 77 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) ) )
247246imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
24884, 247oe0lem 6749 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( Lim  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
249248com12 29 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) ) ) ) )
2505, 10, 15, 20, 30, 58, 249tfinds3 4836 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
251250exp3acom3r 1379 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) ) )
2522513imp 1147 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U_ciun 4085   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575  (class class class)co 6073    +o coa 6713    .o comu 6714
This theorem is referenced by:  omass  6815  oeeui  6837  oaabs2  6880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721
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