Theorem oe0m0 4149

Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oe0m0	|- ((/) ^o (/)) = 1o

Proof of Theorem oe0m0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3017	. 2 |- (/) e. On
2		oe0m 4147	. . 3 |- ((/) e. On -> ((/) ^o (/)) = (1o \ (/)))
3		dif0 2331	. . 3 |- (1o \ (/)) = 1o
4	2, 3	syl6eq 1520	. 2 |- ((/) e. On -> ((/) ^o (/)) = 1o)
5	1, 4	ax-mp 7	1 |- ((/) ^o (/)) = 1o

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956   \ cdif 2040  (/)c0 2276  Oncon0 2943  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   ^o coe 4122

This theorem is referenced by:  oe0 4151  oev2 4152  oesuc 4156  oecl 4162

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oexp 4127

Copyright terms: Public domain