MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Unicode version

Theorem oe0m0 6755
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 4626 . 2  |-  (/)  e.  On
2 oe0m 6753 . . 3  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  ^o  (/) )  =  ( 1o  \  (/) ) )
3 dif0 3690 . . 3  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
42, 3syl6eq 2483 . 2  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o )
51, 4ax-mp 8 1  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309   (/)c0 3620   Oncon0 4573  (class class class)co 6072   1oc1o 6708    ^o coe 6714
This theorem is referenced by:  oe0  6757  oev2  6758  oesuclem  6760  oecl  6772  oeoa  6831  oeoe  6833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oexp 6721
  Copyright terms: Public domain W3C validator