Theorem oe1 4184

Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1.

Assertion

Ref	Expression
oe1	|- (A e. On -> (A ^o 1o) = A)

Proof of Theorem oe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3028	. . . 4 |- (/) e. On
2		oesuc 4172	. . . 4 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A ^o suc (/)) = ((A ^o (/)) .o A))
3	1, 2	mpan2 698	. . 3 |- (A e. On -> (A ^o suc (/)) = ((A ^o (/)) .o A))
4		df-1o 4139	. . . 4 |- 1o = suc (/)
5	4	opreq2i 3978	. . 3 |- (A ^o 1o) = (A ^o suc (/))
6	3, 5	syl5eq 1522	. 2 |- (A e. On -> (A ^o 1o) = ((A ^o (/)) .o A))
7		oe0 4167	. . 3 |- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)
8	7	opreq1d 3981	. 2 |- (A e. On -> ((A ^o (/)) .o A) = (1o .o A))
9		om1r 4183	. 2 |- (A e. On -> (1o .o A) = A)
10	6, 8, 9	3eqtrd 1514	1 |- (A e. On -> (A ^o 1o) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283  Oncon0 2954  suc csuc 2956  (class class class)co 3969  1oc1o 4134   .o comu 4137   ^o coe 4138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-oexp 4143

Copyright terms: Public domain